Trascendencia de suma y de producto

Question

Demuestre que al menos uno de los números del conjunto $\{\pi e, \pi+e\}$ es trascendente.

Una pregunta bastante sui géneris (y no demasiado difícil). Ojalá que sea de su agrado.

Answer 1

Supongamos por contradicción que ambos son algebraicos. Notemos que tenemos la simple identidad

$$ e² + \pi e = e(\pi + e)$$

$$ e²  - (\pi + e) e + \pi e = 0$$

es decir, $e$ es solución de una ecuación polinomial a coeficientes algebraicos y por lo tanto es algebraico lo que es una contradicción.

p.s. por la simetria del problema, naturalmente se puede hacer lo mismo usando la trascendencia de $\pi$, pero elejí $e$ puesto que es bastante más fácil demostrar su trascendencia.