$\pi(x)\geqslant\frac{\log x}{2\log2}$ para todo real $x\geqslant2.$

Question

Proposición. $\pi(x)\geqslant\log x/(2\log2)$ para todo real $x\geqslant2.$

Tal vez me estoy viendo ¿un poco? tonto y esté pasando por alto algo evidente, pero no lo he notado aún. Por ahora sólo he mostrado que $\pi(x)\geqslant\log{\lfloor x\rfloor}/(2\log2)$ (la demostración debajo) utilizando lo que creo que es una "técnica" bien conocida, utillizada por Paul Erdős para mostrar la infinitud de los números primos, pero no sé cómo mostrar la desigualdad original.


Demostración de la desigualdad $\pi(x)\geqslant\log{\lfloor x\rfloor}/(2\log2).$ 

Sean $p_1,\ldots,p_m$ todos los primos en el intervalo $[1,x]$ y sea $\mathcal B$ el conjunto de todos los enteros de la forma $ab^2,$ donde $0<b\leqslant\sqrt{\lfloor x\rfloor}$ es entero y $a=p_1^{\varepsilon_1}\cdots p_m^{\varepsilon_m},$ con $\varepsilon_i\in\{0,1\}$ para cada $i.$ Es claro que $[1,x]\cap\mathbb Z\subseteq\mathcal B,$ por lo que $\mathrm{card}\;\mathcal B\geqslant\mathrm{card}\;([1,x]\cap\mathbb Z).$ Como $\mathrm{card}\;\mathcal B=2^m\left\lfloor\sqrt{\lfloor x\rfloor}\right\rfloor\leqslant2^m\sqrt{\lfloor x\rfloor}$ y $\mathrm{card}\;([1,x]\cap\mathbb Z)=\lfloor x\rfloor$ entonces $\sqrt{\lfloor x\rfloor}\leqslant2^m$ y como $m=\pi(x)$ se sigue que $\pi(x)\geqslant\log{\lfloor x\rfloor}/(2\log2).$ $\hspace{145pt}\square$


Cualquier ayuda para el caso general se agradece!.


Nota: $\pi(x)$ denota al número de primos en el intervalo $[1,x],$ $\lfloor x\rfloor$ denota al mayor entero que es menor o igual que $x$ y $\mathrm{card}\;A$ denota la cardinalidad del conjunto $A.$