Resolver $3\left(2^{a}\right)+1=b^{2}$ para enteros no negativos.

Question

Encontrar todas las soluciones de la ecuación $3\left(2^{a}\right)+1=b^{2}$ en enteros no negativos.

Problema elemental, ahí lo tienen.

Answer 1

La ec. se puede reescribir así: $3\cdot 2^{a} = (b-1)(b+1)$. Como $(b-1,b+1)$ es $1$ o $2$ entonces sólo hay dos casos a considerar:

Caso I. $3 \mid b-1$ y $3 \nmid b+1$

Caso II. $3 \mid b+1$ y $3 \nmid b-1$

En el primer caso se cumple que $b-1=3 \cdot 2^{A}$ y que $b+1 = 2^{B}$ para algunos $A,B \in \mathbb{Z}^{+}$ cuya suma es $a$. Restando miembro a miembro las dos igualdades anteriores se obtiene que

$$2 = 2^{A}(2^{B-A}-3).$$

No resulta difícil convencerse que esta igualdad se cumple solamente cuando $A=1$ y $B=3$. Estos valores para $A$ y $B$ dan lugar a la sig. sol. de la ec. original: $a=4, b=7$.

En el segundo caso, al proceder como en los párrafos previos, vemos que (en este caso) la ec. original da lugar a la ec.

$$2+2^{A}= 3\cdot 2^{B}$$

donde $A,B \in \mathbb{Z}^{+}$ son tales que $A+B= a.$

Si $A=0$ entonces $B=0$ y, en consecuencia, $a=0$, $b=2$. Es imposible que $A=1$ pues $3 \nmid 4$. Finalmente, si $A> 1$ entonces necesariamente $B=1$: esto implica a su vez que $A=2$. Consecuentemente, $a=3, b=5$.

En resumidas cuentas, la ec. original tiene tres sols. en números enteros no negativos:

$a=0, b=2$

$a=3, b=5$

y

$a=4, b=7$.

Comments

Correcto, José. Es un problema con una solución completamente elemental.