Corrigiendo (con este comentario es que respondo al comentario de Carlos Israel a mi segunda respuesta, comentario que está justo antes de éste):
$n^{2}+k$ es el cuadrado perfecto más cercano a $n^{2}$ si y sólo si $k=2n+1$, es decir, el número impar $2n+1$, porque el cuadrado perfecto más cercano a $n^{2}$ siempre será $n^{2}+2n+1$. No puede ser $n^{2}+2n$, es decir, no puede ser $n^{2}+k$ con $k=2n$ (el número par $2n$), porque este número siempre es menor que el cuadrado perfecto más cercano a $n^{2}$, que es $n^{2}+2n+1$.
$n^{2}+1$ es cuadrado perfecto si y sólo si $n=0$. Para $n>0$ no es cuadrado perfecto, porque: para $n=1$ el cuadrado perfecto más cercano a $n^{2}$ es $n^{2}+3$, para $n=2$, el cuadrado perfecto más cercano a $n^{2}$ es $n^{2}+5$, para $n=3$ el cuadrado perfecto más cercano a $n^{2}$ es $n^{2}+7$, es decir, para $n>0$ el cuadrado perfecto más cercano a $n^{2}$ es $n^{2}+k$, con $k$ número impar mayor que $1$, por lo que si $n>0$, $n^{2}+1$ no es cuadrado perfecto, por ser menor que el cuadrado perfecto más cercano a $n^{2}$.
Por tanto, yo demuestro que $n^{2}+1 \not=m^{2}$ si $n \not=0$.