Nosotros entendemos intuitivamente lo que es multiplicar dos números naturales, digamos, $5$ por $8,$ eso es sumamos ocho veces $5$ o cinco veces $8.$ Este razonamiento lo podemos extender a una cantidad finita de naturales. De hecho, si $a$ es un real, $a^n$ (con $n\in\mathbb N$) es sólo sumar $a$ exactamente $n$ veces y $a^{-n}$ (con $a\neq0$) es sólo el inverso multiplicativo de $a^n.$
Pero ¿cómo extendemos ésto a exponentes racionales?. Digamos que $a$ es un real positivo y $p/q$ es un racional (con $p$ y $q$ enteros y $q>0$). Primero hallamos $a^p$ utilizando el razonamiento arriba mencionado. Luego obtenemos la $q$-ésima raíz de $a^p$ (se puede mostrar que ésta existe y es única) y de esa manera obtendremos $a^{p/q}.$ Un pequeño "problema" puede surgir al preguntarnos si difiere, por ejemplo, $2^{-13/7}$ de $2^{-26/14},$ pero se puede mostrar que no importa cómo expreses al exponente racional, el resultado será siempre el mismo.
Ahora ¿cómo elevamos un real positivo a un exponente irracional?. Digamos que queremos saber el valor de $2^{\alpha},$ donde $\alpha:=0.123456789101112\ldots.$ Aquí notamos que $\alpha$ es el límite de una sucesión de números racionales. Si definimos $s_0:=2^{0.1},$ $s_1:=2^{0.12},$ $s_2:=2^{0.123},$ etc., tendremos una sucesión, cuyos términos están bien definidos, tal que, intuitivamente, $\lim\limits_{n\to\infty}s_n=2^{\alpha}.$