Observación. Sean $m,n \in \mathbb{Z}$. Se cumple entonces que $3|m^{2}+n^{2}$ si y sólo si $3|m$ y $3|n$.
Así, si suponemos que $\displaystyle \sqrt{2} = \frac{m}{n}$ con $m$ y $n$ enteros coprimos, al elevar al cuadrado ambos lados de esta igualdad se obtiene que
$\displaystyle 2= \frac{m^{2}}{n^{2}}$
y por lo tanto
$3n^{2} = m^{2}+n^{2}$.
De esta igualdad y la observación inicial se sigue que $3$ es un divisor común de $m$ y $n$: esto contradice la supuesta coprimalidad de $m$ y $n$ y la prueba termina.
(Esta demostración la contribuyó el profesor argentino Enzo Gentile a la Mathematics Magazine hace muchos años.)
_____________________________
La siguiente demostración se le atribuye a Theodor Estermann. Se procede nuevamente por reducción al absurdo. Supongamos que $\sqrt{2}$ es racional. Existe en tal caso un número entero positivo mínimo $k$ con la propiedad de que $k\sqrt{2}$ es entero. Por otra parte, puesto que $1 < \sqrt{2} < 2$ se sigue que $k < k\sqrt{2} < 2k$. En consecuencia, $K= (\sqrt{2}-1)k$ es un entero positivo menor que $k$. No obstante, al ser
$K\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)k\sqrt{2} =2k-k\sqrt{2}$
un entero positivo, se ha llegado a una contradicción con la minimalidad de $k$. Por consiguiente $\sqrt{2}$ es irracional.
_____________________________
La irracionalidad de $\sqrt{2}$ se puede establecer también a través del teorema de ceros racionales: si $r$ y $s$ son enteros coprimos y $p(x) = a_{n}x^{n}+\ldots+a_{0} \in \mathbb{Z}[x]$ es tal que $p(r/s)=0$ entonces $r|a_{0}$ y $s|a_{n}$. Aplicando este teorema al polinomio $p(x)=x^{2}-2$ se obtiene que los posibles ceros racionales y positivos de $p(x)$ son $1$ o $2$. Puesto que $\sqrt{2}$ es cero de $p(x)$ y $\sqrt{2} \notin \{1,2\}$ entonces $\sqrt{2}$ es irracional.
Otra forma de establecer la irracionalidad con ayuda de polinomios es como sigue: por el criterio de Eisenstein, el polinomio $p(x)=x^{2}-2$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$. Por otro lado, si suponemos que $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$ entonces $p(x)$ sería el producto de los polinomios de primer grado $x-\sqrt{2}, x+\sqrt{2} \in \mathbb{Q}[x]$: esto entra en contradicción con la conclusión obtenida a través de Eisenstein y el resultado se sigue.
_____________________________
(18/09/2013)
Niven-Maier: Nuevamente, supongamos que $\displaystyle \sqrt{2}=\frac{a}{b}$ donde la fracción es irreducible. Esto implica que $b$ es el mínimo entero positivo que puede aparecer en el denominador de una fracción que represente a $\sqrt{2}$. Como $1<\sqrt{2}<2$ entonces $b<a<2b$ y por consiguiente $0<a-b<b$. Por otro lado,
$\begin{eqnarray*}a^{2}&=&2b^{2}\\ a^{2}-ab&=&2b^{2}-ab\\a(a-b)&=& b(2b-a)\\ \frac{a}{b}&=& \frac{2b-a}{a-b} \end{eqnarray*}$
y hemos terminado, pues de la última igualdad se sigue que $\displaystyle \sqrt{2} = \frac{2b-a}{a-b}$ y el denominador de la fracción es positivo y menor que $b$.
_____________________________
A través del teorema fundamental de la aritmética: si $\displaystyle \sqrt{2}=\frac{a}{b}$ donde $a,b\in \mathbb{Z}$ entonces al elevar ambos lados al cuadrado y multiplicarlos por $b^{2}$ se obtiene que
$2b^{2}=a^{2}$............ (*)
La contradicción se consigue al analizar la paridad del exponente del primo $2$ en la descomposición canónica de $2b^{2}$: según el lado izquierdo de (*) dicho exponente tiene que ser impar, según el lado derecho tendría que ser par. Esto entra en contradicción con la unicidad de la descomposición canónica garantizada por el teorema fundamental de la aritmética y la prueba termina.
_____________________________
Supongamos que $\displaystyle \sqrt{2} = \frac{a}{b}$ donde $(a,b)=1$. Por Bezout, existen $c,d \in \mathbb{Z}$ tales que $1=ad-bc$. Así, $0=(a-b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2}) = (ac-2bd) + \sqrt{2}$ de donde se sigue que $2$ es un cuadrado perfecto. Contradicción.
_____________________________
(23/09/2013)
Observación 1. La representación en binario del cuadrado de un número entero termina siempre en un número par de ceros.
Observación 2. Si la representanción en binario del entero $b^2$ termina en un número par de ceros entonces la representación en binario del entero $2b^2$ termina en un número impar de ceros.
Así, si suponemos que $\displaystyle \sqrt{2}=\frac{a}{b}$ para algunos enteros $a$ y $b$ entonces $a^{2}=2b^{2}$. Aplicando la observación 1 se obtiene que la representación en binario de $a^{2}$ termina en un número par de ceros. Por otra parte, la observación 2 implica que la representación en binario de $2b^2=a^2$ termina en un número impar de ceros. Contradicción.
(Esta prueba la leí en uno de los libritos de Ross Honsberger hace algunos ayeres.)
_____________________________
