¿Qué es $2^\sqrt{3}$?

Question

En general, ¿qué significa elevar un número a un exponente irracional?

Answer 1

Nosotros entendemos intuitivamente lo que es multiplicar dos números naturales, digamos, $5$ por $8,$ eso es sumamos ocho veces $5$ o cinco veces $8.$ Este razonamiento lo podemos extender a una cantidad finita de naturales. De hecho, si $a$ es un real, $a^n$ (con $n\in\mathbb N$) es sólo sumar $a$ exactamente $n$ veces y $a^{-n}$ (con $a\neq0$) es sólo el inverso multiplicativo de $a^n.$

Pero ¿cómo extendemos ésto a exponentes racionales?. Digamos que $a$ es un real positivo y $p/q$ es un racional (con $p$ y $q$ enteros y $q>0$). Primero hallamos $a^p$ utilizando el razonamiento arriba mencionado. Luego obtenemos la $q$-ésima raíz de $a^p$ (se puede mostrar que ésta existe y es única) y de esa manera obtendremos $a^{p/q}.$ Un pequeño "problema" puede surgir al preguntarnos si difiere, por ejemplo, $2^{-13/7}$ de $2^{-26/14},$ pero se puede mostrar que no importa cómo expreses al exponente racional, el resultado será siempre el mismo.

Ahora ¿cómo elevamos un real positivo a un exponente irracional?.  Digamos que queremos saber el valor de $2^{\alpha},$ donde $\alpha:=0.123456789101112\ldots.$ Aquí notamos que $\alpha$ es el límite de una sucesión de números racionales. Si definimos $s_0:=2^{0.1},$ $s_1:=2^{0.12},$ $s_2:=2^{0.123},$ etc., tendremos una sucesión, cuyos términos están bien definidos, tal que, intuitivamente, $\lim\limits_{n\to\infty}s_n=2^{\alpha}.$

Answer 2

Si tomas un curso de variable compleja te van a decir que por definición  $a^b=e^ {b \log a} $ y te darán definiciones para la exponencial y el logaritmo que pueden usar ecuaciones diferenciales, integrales o series infinitas. A mí no me gusta ésta como definición así que te diré una diferente.

Para números enteros defines recursivamente $a^0=1$, $a^{n+1}=a^n a$ y $a^{n-1}=a^n/a$. Luego, si $p/q$ es racional dices que $x=a^{p/q}$ si $x^q=a^p$. A veces $a^{p/q}$ puede no estar definido o tener más de un valor. Si $a>0$, $a^{p/q} $ tiene uno y sólo un valor positivo que en general será el que tomamos como válido.

Ahora, recuerda que los reales se pueden definir como límites de sucesiones de Cauchy de racionales. Puedes probar que si $\{r_n\} $ es una sucesión de Cauchy de racionales, entonces $\{a^{r_n}\}$ es una sucesión de Cauchy (de reales positivos), por lo que converge. Así que si $x $ es real y $a $ es real positivo, puedes definir $a^x $ como el límite de $a^{r_n}$ donde los $r_n $ son una sucesión de racionales que converge a $x $. Puedes probar que esto está bien definido, es decir, no depende de la sucesión  $\{r_n\} $ que tomes.