producto cartesiano de $\sigma$-álgebras

Question

Hola! Mi pregunta es esta: ¿cómo se define el producto cartesiano de dos $\sigma$-álgebras? ¿Hay alguna convención acerca de esto?

He leído que si tenemos dos espacios medibles,  el producto cartesiano de las $\sigma$-álgebras no siempre es $\sigma$-álgebra del producto cartesiano de los espacios, sin embargo tengo dudas respecto a la definición de producto cartesiano de $\sigma$-álgebras y en general de familias de conjuntos.

 

Espero que me puedan ayudar. Un saludo.

Answer 1

La $\sigma$-algebra $\mathcal{B}_1\times \mathcal{B}_2$ producto de las dos $\sigma$-algebras $\mathcal{B}_i$ en los espacios $X_i$ es el algebra generada por los subconjuntos $B_1\times B_2\subset X_1\times X_2$ tal que $B_i\in \mathcal{B}_i$.

Sean $(X_i,\mathcal{B}_i)$, $i=1,2$ dos espacios medibles. Para la $\sigma$-algebra producto se cumple que si $A\in\mathcal{B}_1\times \mathcal{B}_2 $ entonces $A_{x_2}:=\{x_1\in X_1\;|\;(x_1,x_2)\in A\}\in \mathcal{B}_1$.

Ahora si consideramos por ejemplo la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^2$ entonces cualquier subconjunto de $\mathbb{R}\times\{0\}$ es medible (con medida cero). Sin embargo por la observacion de arriba no todos estos subconjuntos perteneces a la $\sigma$-algebra producto (toma un subconjunto $A\subset\mathbb{R}$ no Lebesgue-medible, entonces $A\times\{0\}\subset\mathbb{R}^2$ es Lebesgue medible pero no pertenece al producto).

Comments

Carlos, gracias por tu respuesta pero mi pregunta era ¿cómo se define el producto de dos $\sigma$-álgebras? o en general de dos familias de conjuntos, en lo que respondes se ve involucrado ese producto o sea que mi pregunta es aún más básica. Sin embargo, creo poder responder mi pregunta con tu respuesta, solamente te pediría que me correboraras:
Si $(\mathcal{B}_1, X_1)$ y ($\mathcal{B}_2, X_2)$ son dos espacios medibles, entonces $\mathcal{B}_1\times\mathcal{B}_2=\left\lbrace B_1\times B_2 : B_i\in\mathcal{B}_i, i=1,2\right\rbrace$, ¿entendí bien? Nuevamente gracias.

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No del todo. El producto de las sigma álgebras es el sigma álgebra más pequeña que contiene el conjunto que escribiste.

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Según el último comentario, ¿el producto de las $\sigma$-álgebras es igual a la $\sigma$-álgebra del producto de las $\sigma$-álgebras?

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Hola, la última pregunta que escribiste es inentendible. Sin embargo, un poco de notación aclarará tu duda:
1. Dados dos conjuntos $A$ y $B$ cualesquiera, define $A \times B$ como el conjunto de pares ordenados $(x,y)$ tales que $x \in A$ y $y \in B$
2. Dado un conjunto $A,$ denota por $\Sigma(A)$ a la mínima $\sigma$-álgebra que contiene a $A$.
3. Si $(S, \mathscr{S})$ y $(T, \mathscr{T})$ son dos espacios medibles entonces se define la $\sigma$-álgebra producto mediante $\mathscr{S} \otimes \mathscr{T} := \Sigma(\mathscr{S} \times \mathscr{T})$.

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Hola Guillermo, gracias por responder a mi pregunta, sin embargo aún tengo un poco de confusión.
La pregunta me surgió de leer que "el producto de dos $\sigma$-álgebras no siempre es una $\sigma$-álgebra..." (y que por eso se define la $\sigma$-álgebra producto como ambos lo describen). Precisamente, lo que quiero saber es cómo se define el producto ($\mathcal{S}\times\mathcal{T}$) y no cómo se define la $\sigma$-álgebra del producto ($\sigma(\mathcal{S}\times\mathcal{T})$, siguiendo tu notación).
A caso ¿$\mathcal{S}\times\mathcal{T}=\left\lbrace s\times t : s\in\mathcal{S}, t\in\mathcal{T}\right\rbrace$? (entiendo que tal conjunto no es necesariamente una $\sigma$-álgebra de $S\times T$. pero esa no es mi pregunta).

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Reeditado

Lo que te piden es dar un ejemplo de dos $\sigma$-álgebras $\mathscr{S}$ y $\mathscr{T}$ tales que $\mathscr{R}(S \times T) \neq \mathscr{S} \otimes \mathscr{T}$ donde $\mathscr{R}(S \times T)$ es el conjunto de rectángulo medibles. Creo que casi cualquier $\sigma$-álgebra usual no va a satisfacer esto, como $\mathscr{B}_{\mathbb{R}},$ la $\sigma$-álgebra de borel (considera algo así como la diagonal en $\mathbb{R}^2,$ la cual es un boreliano de $\mathbb{R}^2$ pero no es un producto cruz de dos borelianos de $\mathbb{R}$).

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Sí claro, es eso, pero ¿cómo se define $\mathscr{S}\times\mathscr{T}$? ¿es así como lo escribí en el comentario anterior?

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Ya entendí qué quieres decir. La $\sigma$-álgebra producto usualmente se define como aquella generada por los rectángulos medibles. Ahora, el producto cartesiano de dos $\sigma$-álgebras sería algo así el conjunto de pares $(A,B)$ tales que $A$ pertenece a la primera y $B$ a la segunda, ¿cierto? En ese caso, la pregunta carece de sentido (de nuevo, muchos autores escriben porque tienen capacidad de escribir, pero a veces no saben que escriben).

Ahora creo que la pregunta que te hicieron es dar un ejemplo donde el $\mathcal{S} \times \mathcal{T}$ que tú definiste arriba no coincide con $\sigma(\mathcal{S} \times \mathcal{T})$. O sea, $\mathcal{S} \times \mathcal{T}$ es el conjunto de rectángulos medibles.

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Muchas gracias Guillermo, es que no le encontraba el sentido a tomar el producto cartesiano de dos $\sigma$-álgebras porque el resultado es quién sabe qué cosa sin sentido.

Si te interesa, puedes responder a la pregunta (porque todo lo anterior han sido comentarios de la respuesta de Carlos) y así puedo calificarte con +1.