$\sigma$-álgebra de Borel

Question

UNA AYUDA, conocen algun agun resultado de pueda usar.

Sea $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ un espacio de probabilidad, donde $\Omega$ es un espacio metrico separable y completo, y $\mathcal{A}$ es un $\sigma$-álgebra de Borel. Probar que para todo $\epsilon>0$, existe un compacto $K$ tal que $\mu(K)>1-\epsilon$.

Answer 1

Sea $\{x_n:n\in\mathbb{N}\}$ una enumeración de un denso numerable de $\Omega$ y sea $\varepsilon>0$. Podemos ver que, para cada $n\in\mathbb{N}$ tenemos $\Omega=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}B(x_k,\tfrac{1}{n})$. Consideremos los conjuntos $A_m=\bigcup_{k=1}^{m}B(x_k,\tfrac{1}{n})$, entonces $\left<A_m:m\in\mathbb{N}\right>$ es una sucesión creciente que converge a $\Omega$. Por la continuidad de la medida, vemos que $\mu(\Omega)=\lim_{m\to\infty}\mu(A_m)$.

Así, para cada $n$ podemos elegir $m_n$ tal que $\mu(A_{m_n})>\mu(\Omega)-\tfrac{\varepsilon}{2^n}$. Ahora, defina $K=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\overline{A_{m_n}}$, entonces $K$ es un subespacio completo y totalmente acotado de $\Omega$, por lo que es compatco. Luego, la medida del complemento de $K$ se puede estimar como sigue: $$\mu(\Omega\backslash K)\leq \sum_{n\in\mathbb{N}}\mu(\Omega\backslash A_{m_n})<\sum_{n\in\mathbb{N}}\tfrac{\varepsilon}{2^n}=\varepsilon$$
de donde concluimos que $\mu(K)>\mu(\Omega)-\varepsilon$. Como $\mu(\Omega)=1$, se tiene lo que quieres.