$\sigma$ -álgebras de Lebesgue.

Question

Si $\Lambda$ es el $\sigma$-álegra de Lebesgue de $\mathbb{R}^{n}$ e $\Pi_{i=1}^{n}\Lambda_{i}$ producto de $\sigma$-álegra de Lebesgue de  $\mathbb{R}$. Porque es que no se cumpe la igualdad.

 $$\Lambda=\Pi_{i=1}^{n}\Lambda_{i}$$    ($\Pi_{i=1}^{n}\Lambda_{i}\subseteq \Lambda$)

Que tipo de conjuntos deberiamos agregar a $\Pi_{i=1}^{n}\Lambda_{i}$ para ser igual a $\Lambda$.

Answer 1

Sean $(X_i,\mathcal{B}_i)$, $i=1,2$ dos espacios medibles. Para la $\sigma$-algebra producto se cumple que si $A\in\mathcal{B}_1\times \mathcal{B}_2 $ entonces $A_{x_2}:=\{x_1\in X_1\;|\;(x_1,x_2)\in A\}\in \mathcal{B}_1$.

Ahora si consideramos la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^2$ entonces cualquier subconjunto de $\mathbb{R}\times\{0\}$ es medible (con medida cero). Sin embargo por la observacion de arriba no todos estos subconjuntos perteneces a la $\sigma$-algebra producto (toma un subconjunto $A\subset\mathbb{R}$ no Lebesgue-medible, entonces $A\times\{0\}\subset\mathbb{R}^2$ es Lebesgue medible pero no pertenece al producto).

Basicamente, todos los subconjuntos que faltan son los subconjuntos de conjuntos de medida cero (todos estos son Lebesgue-medibles). Es decir, estos subconjuntos junto con la $\sigma$-algebra producto generan la $\sigma$-algebra de Lebesgue.