Medida de Lebesgue

Question

 

Dado $(\mathbb{R},\Lambda,\lambda)$. Si $A\in \Lambda$.

Mostrar  que $\lambda(A)=\inf\{\lambda(G):G\supseteq A, G \text{ abierto}\}=\sup\{\lambda(K):K\subseteq A, K \text{ compacto}\}$

Comments

Esto es una duda que tienes o un "reto" que propones?

Answer 1

En la pregunta que hiciste de $\sigma$-álgebra de Borel se prueba la segunda igualdad.

Para la otra igualdad, si $n\in\mathbb{N}$, entonces existe una sucesión de abiertos $\left<U_{m}^{n}:m\in\mathbb{N}\right>$ tal que $U^{n}=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}\supseteq A$ y $\lambda(A)-\tfrac{1}{n}\leq\lambda(U^{n})$. Con este procedimiento se sigue el resultado.

Este es un caso particular de la pregunta Medidas finitas en espacios polacos.