IGUALDAD EN UNA MEDIDA EXTERIOR

Question

PREGUNTA: Sea $\mu^*$ la medida exterior generada por la medida longitud sobre $\mathbb{R}$. Y sean $A$ y $B$ dos subconjuntos de $\mathbb{R}$ tales que $\inf \left\{ \mid x-y \mid : x \in A, y \in B \right\}>0$. Demostrar que $\mu^*(A \cup B) = \mu^*(A) + \mu^*(B)$

 

MIS AVANCES: Una desigualdad es inmediata de la subaditividad de cualquier medida exterior, es decir que ya tengo que $\mu^*(A \cup B) \leq \mu^*(A) + \mu^*(B)$

Sin embargo estoy batallando un poco para probar la otra desigualdad, se deduce rapidamente que $A$ y $B$ deben de ser disjuntos, usando esto estoy buscando obtener que que $\mu^*(A) + \mu^*(B) \leq r \ \forall \ r \in R(A\cup B)$, en particular será valido si $r=\inf R(A \cup B)=\mu^*(A \cup B)$ donde:

$$R(A \cup B)=\left\{ \sum\limits_{j=1}^{\infty} l(E_j) : (A \cup B) \subseteq \bigcup\limits_{j=1}^{\infty} E_j , \left\{ E_j \right\}_{j=1}^{\infty} \subset \mathcal{F}_0 \right\}$$

donde $l$ representa la medida longitud sobre $\mathbb{R}$ y $\mathcal{F}_0$ al álgebra generada por uniones finitas de intervalos de la forma $(a,b], (a,\infty), (-\infty,b]$. Sin embargo, no logro probarlo $ \forall \ r \in R(A\cup B)$, solo para algunas, será que va por otro lado la prueba? Cualquier ayuda es buena. GRACIAS

Answer 1

Aqui va un esbozo. Llamemos $\delta=\inf\{\left\vert x-y \right\vert:x\in A, y\in B\}>0$. Nota que podemos tomar el infimo de $R(A\cup B)$ solo usando intervalos. Mas aun podemos tomar solo coberturas de intervalos con tamaño maximo menor que $\delta$. Así, dada una cobertura de $A\cup B$ digamos $(E_j)_{j\in \mathbb{N}}$ por este ultimo tipo de intervalos entonces cada $E_j$ intersecta solo $A$ o solo $B$ pero no ambos. Así denotando por $J_1=\{j\in \mathbb{N}:E_j\cap A\neq \emptyset\}$  tenemos

\begin{eqnarray}

\mu^*(A)+\mu^*(B)&\leq&\sum_{j\in J_1}l(E_j)+\sum_{j\notin J_1}l(E_j)\\

&=&\sum_{j=1}^{\infty}l(E_j),

\end{eqnarray}

desde que la cobertura que tomaste es arbitraria concluyes la desigualdad contraria.

Comments

Muchas gracias, tenia una idea similar sin embargo me fallaba el argumento para justificar que una cobertura arbitraria de $A \cup B$ se puede considerar siempre del estilo que mencionas, por lo que no me dejaba satisfecho decir que la cobertura era arbitraria, pero con esto que dices me queda más claro. SALUDOS