Límites relacionados de una función.

Question

¡Buenas, buenas!

 

Tengo el siguiente problema:

Sea $f:[0. +\infty]\rightarrow\ \mathbb{R}$ una función acotada en cada intervalo acotado. Si $\lim_{x\rightarrow \infty} [f(x+1)-f(x)]=L]$ entonces

$$\lim_{x\rightarrow \infty}\displaystyle\frac{f(x)}{x}=L$$

Apreciaría algún consejo para acercame a la solución. ¡Gracias!

Answer 1

Después de un rato, terminé encontrando una solución, un poco reconstruida de algunas partes:

 

Primero fijémonos que dado $\epsilon>0$ existe $y>0$ tal que si $x>y$ entonces:

$$L-\epsilon<f(x+1)-f(x)<L+\epsilon$$

y las siguientes desigualdes también son válidas para cualquier entero $n$

$$L-\epsilon<f(x+2)-f(x+1)<L+\epsilon$$

$$L-\epsilon<f(x+2)-f(x+1)<L+\epsilon$$

$$\vdots$$

$$L-\epsilon<f(x+n)-f(x+n-1)<L+\epsilon$$

sumando cada uno de esto obtendremos la desigualdad:

$$nL-n\epsilon<f(x+n)-f(x)<nL+n\epsilon $$

como es válido este razonamiento para cualquier $n$ entero positivo, entonces podemos tomar $n=[x]$, con lo cual, si tomamos $h(x)=x-[x]$ tendremos las desigualdades:

$$[x]L-[x]\epsilon<f(x)-f(h(x))<[x]L+[x]\epsilon $$

además, notamos que $0\leq h(x) <1$ y como el intervalo $[0,1)$ está acotado, entonces la función $f$ también lo está en este intervalo. Luego existe $M>0$ tal que $|f(h(x))|<M$ esto implica que al dividir por $x$ y hacer $x\rightarrow \infty$ esta función compuesta tendrá a cero. Dividimos la desigualdad de arriba por $x$

$$\displaystyle\frac{[x]}{x}L-\displaystyle\frac{[x]}{x}\epsilon<\displaystyle\frac{f(x)-f(h(x))}{x}<\displaystyle\frac{[x]}{x}L+\displaystyle\frac{[x]}{x}\epsilon $$

recordamos que $\lim_{x\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{[x]}{x}=1$ y por tanto al aplicar el límite $x\rightarrow\infty$ obtendremos 

$$L-\epsilon\leq\lim_{x\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{f(x)}{x}\leq L+\epsilon$$

como este razonamiento es válido para cualquier $\epsilon>0$ entonces tenemos el resultado. 

 

 

Comments

Acabo de darme cuenta que esto tiene errores, en un rato lo miro... si encuentro cómo corregirlo. :D