Límites iterados [cerrada]

Question

Buenas noches. Tenía una duda sobre cómo demostrar esto...

Si y existen, entonces ...donde f(x,y) es un campo escalar (De R^2).

 

Comments

No se puede ver la imagen, espero puedas volver a cargarla.

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Ya las volví a subir.

Answer 1

Mostraré cómo se puede probar que $\lim_{x\to a}\left(\lim_{y\to b}f(x,y)\right)=L$, pues la otra igualdad se demuestra de manera enteramente simétrica. Para simplificar notación, definamos para cada $x$ a $F(x)=\lim_{y\to b}f(x,y)$, el cual existe por hipótesis. Entonces, se trata de demostrar que $\lim_{x\to a}F(x)=L$. Sea $\varepsilon>0$, y agarremos $\delta$ tal que si $\|(x,y)-(a,b)\|<\delta$ entonces $|f(x,y)-L|<\frac{\varepsilon}{2}$. Afirmo que $\frac{\delta}{\sqrt{2}}$ funciona, es decir, que si $|x-a|<\frac{\delta}{\sqrt{2}}$ entonces $|F(x)-L|<\varepsilon$. Para comprobar esta afirmación, agárrese un $x$ arbitrario que satisfaga $|x-a|<\frac{\delta}{\sqrt{2}}$. Ahora, para ese valor de $x$, sabemos que $\lim_{y\to b}f(x,y)=F(x)$, por lo cual es posible encontrar un $\delta_x$ tal que si $|y-b|<\delta_x$ entonces $|f(x,y)-F(x)|<\frac{\varepsilon}{2}$. Fijemos un valor cualquiera de $y$ que satisfaga $|y-b|<\min\{\delta_x,\frac{\delta}{\sqrt{2}}\}$. Entonces, por una parte,

$|F(x)-f(x,y)|<\frac{\varepsilon}{2}$.

Por otra parte, $\|(x,y)-(a,b)\|=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\sqrt{2\left(\frac{\delta}{\sqrt{2}}\right)^2}=\delta$, por lo cual se tiene que

$|f(x,y)-L|<\frac{\varepsilon}{2}$;

sumando estas dos desigualdades obtenemos

$|F(x)-L|\leq|F(x)-f(x,y)|+|f(x,y)-L|<2\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$,

y tantán (cuadrito).

Comments

Ya la había sacado hace tiempos, pero gracias. Olvidé cerrar.

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Mejor: Así dio ocasión a que el Maestro D. Fernández comparta su ilustración.

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Más que "cerrar", hubieras publicado aquí mismo tu respuesta. Yo veo este sitio como (entre otras cosas) un enorme "banco" de problemas matemáticos con respuesta, al final poco importa quién pregunte y quién responda sino el hecho de que todo este conocimiento esté disponible para quien lo necesite o le interese.