La identidad es continua. Las normas no son equivalentes

Question

En principio la pregunta es: Siempre que la identidad sea continua se tiene que las normas son equivalentes? Al parecer es falso.

¡Cómo mostrar que la identidad $id: (l^{1},||*||_{1})\rightarrow (l^{1},||*||_{\infty})$ es continua pero las normas no son equivalentes.?

Answer 1

La respuesta a tu pregunta es que es falsa, de inicio lo unico que podrias afirmar al tener que la identidad es continua es que una topologia esta incluida en la otra. De modo que para tener que sean equivalentes la norma debe ser bicontinua. Veamos que tu identidad no es bicontinua.

Claramente tenemos $\| x \|_\infty \leq \| x \|_1$ para todo $x \in \ell^1$, lo que prueba que $id:\left( \ell^1, \| \cdot \|_1 \right) \longrightarrow \left( \ell^1, \| \cdot \|_\infty \right)$ es continua. Consideremos $x \in \ell^1$ dado por $x_n = r^{n-1}$  con $0<r<1$.

Facilmente tenemos que $\| x \|_1 = \frac{1}{1-r}$ y $\| x \|_\infty = 1$. De modo que

$\begin{equation}

L:= \frac{\| x \|_1}{ \| x \|_\infty} = \frac{1}{1-r}

\end{equation}$

Si $r \rightarrow 1$ entonces $L \rightarrow \infty$. Por lo que no existe $M>0$ tal que $ \| y \|_1 \leq M \| y \|_\infty$ para toda $y \in \ell^1$ y entonces $id:\left( \ell^1, \| \cdot \|_\infty \right) \longrightarrow \left( \ell^1, \| \cdot \|_1 \right)$ no es continua.

Comments

Cuando  r→0,  L→1, no? En ese caso sería, cuando r→1?

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Claro, tienes toda la razon