¿La hipótesis del continuo implica que $[0,1]$ es imagen continua de $\Omega$?

Question

Supongamos que la hipótesis del continuo es cierta. Sea $\Omega$ el mínimo ordinal no numerable con la topología del orden. ¿Existe una función continua y sobre $f:\Omega\to [0,1]$?

Answer 1

No, cualquier función continua $f : \Omega \to \mathbb{R}$ es constante a partir de algún momento, es decir, existe un ordinal $\alpha \in \Omega$ tal que $f(\beta) = f(\alpha)$ siempre que $\alpha \le \beta \in \Omega$. En particular, la imagen de $f$ necesariamente es a lo más numerable.

Para probar eso, primero probemos una forma aproximada:

Lema. Para cualquier $\epsilon>0$ existe un $\alpha_\epsilon$ tal que para $\alpha_\epsilon \le \beta \in \Omega$ tenemos que $\left|f(\beta) - f(\alpha_\epsilon)\right| < \epsilon$.

Demostración. Si esto es falso para un cierto $\epsilon$, podemos construir una sucesión estríctamente creciente de oridnales $\gamma_n \in \Omega$ con $\left|f(\gamma_{n+1}) - f(\gamma_{n})\right| \geq \epsilon$. La propiedad básica de $\Omega$ es que el supremo de cualquier conjunto numerable de ordinales en $\Omega$ también pertenece a $\Omega$. Entonces, si $\gamma = \sup_n \gamma_n$, tenemos que $f(\gamma_n) \to f(\gamma)$, lo cual contradice que $\left|f(\gamma_{n+1}) - f(\gamma_{n})\right| \geq \epsilon$.

Ahora ya podemos probar que $f$ es constante a partir de algún momento: sea $\alpha = \sup_n \alpha_{1/n}$, donde $\alpha_{1/n}$ está dado por el lema (con $\epsilon = 1/n$). Entonces, otra vez por la propiedad básica de $\Omega$, $\alpha \in \Omega$ y por definición tenemos que para $\alpha \le \beta \in \Omega$, $\left|f(\beta) - f(\alpha)\right| < 1/n$ para todo $n$, es decir, $f(\beta) = f(\alpha)$.