¿Una función continua y biyectiva es abierta?

Question

Muestre que una función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que sea continua y biyectiva debe ser abierta.

De un ejemplo donde esto no ocurra.

Answer 1

Sean $X=\{a,b\}, \tau_{1}=\{\emptyset, X, \{a\},\{b\}\}$, $\tau_{2}=\{\emptyset, X,\{b\}\}$

y

$f:(X,\tau_{1})\to(X,\tau_{2})$

la función identidad sobre $X$ (i.e., $f(a)=a$ y $f(b)=b$).

La función $f$ es claramente biyectiva y continua pero no es abierta pues $f(\{a\}) \notin \tau_{2}.$

REVISIÓN (12/10/13). La primera parte del ejercicio puede establecerse como sigue. Si $\mathcal{B}:=\{(a,b): a, b\in \mathbb{Q}, a<b\} $ entonces puede mostrarse que $\mathcal{B}$ es una base numerable de $\mathbb{R}$. Luego, si $A$ es un conjunto abierto y no vacío de $\mathbb{R}$ entonces existe $\mathcal{C} \subseteq \mathcal{B}$ tal que

$\displaystyle A = \bigcup_{(a,b) \in \mathcal{C}} (a,b).$

De esta igualdad se sigue que

$\displaystyle f(A) = \bigcup_{(a,b) \in \mathcal{C}} f((a,b))$

y por lo tanto, todo se reduce a mostrar que cada $f((a,b))$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}$. Fíjese $(a,b) \in \mathcal{C}$. Como $f$ es biyectiva entonces $f$ es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en $[a,b]$. En efecto, pues si por ejemplo $u,v,w \in [a,b]$ son tales que $u<v<w$ y $f(u)>f(v)$ y $f(v)<f(w)$ entonces aplicando el teorema del valor intermedio a algún $z \in (f(v),f(u)) \cap (f(v),f(w))$ tenemos que existen $c_{1} \in (u,v)$, $c_{2} \in (v,w)$ tales que $f(c_{1})=z=f(c_{2})$, lo cual es imposible en vista de la inyectividad de $f$.

 De todo lo anterior se concluye  $f((a,b)) = (f(a),f(b))$ o $f((a,b)) = (f(b),f(a))$ y la prueba termina.

Comments

Ya que leí tu respuesta, me puse a releer mi pregunta y me di cuenta de que no se entiende lo que quise preguntar. En realidad son dos preguntas y ya respondiste la segunda José.

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OK... Creo que ahora sí. :)

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Inche José, no dejas nada para los mortales. Pero esta bien.

Answer 2

Muestra que $f$ manda intervalos abiertos en intervalos abiertos. Es fácil si usas el Teorema del Valor Intermedio.

Comments

Este no es un problema de una tarea que tenga. La idea de los problemas que pongo es que el que se quiera divertir de una respuesta completa, no que me diga a mí lo que tengo que hacer. Comúnmente, los problemas que he propuesto son problemas que ya he hecho alguna vez, excepto por dos sobre las $\sigma$-álgebras de los naturales. Saludos Tanius y gracias por tu aportación.