Toda función continua en un compacto de Hausdorff admite un conjunto compacto no vacío invariante. [cerrada]

Question

Sean $X$ un espacio topológico compacto y Hausdorff y $f:X \to X$ continua. ¿Siempre existe $A \subset X$ tal que $A$ no es vacío, $A$ es compacto y $f(A) = A$?

Comments

AH! Se ve muy bonito este problema, es una generalización de un Teorema de punto fijo (Y)

Answer 1

Como $X$ es Hausdorff, los subespacios compactos son cerrados.

Sea $K_0:=X$ y $K_n:=f(K_{n-1})$. Entonces $K_n$ es compacto y por lo tanto cerrado. Ademas $K_n\subset K_{n-1}$. Como $X$ es compacto entonces la interseccion de cerrados no vacios anidados es no vacia, por lo tanto, $K:=\bigcap_{n=0}^\infty K_n \neq \emptyset$ es un compacto no vacio. Y por construccion es claro que $f(K)=K$.

Comments

¡Genial! Son "posts" como éste los que nos hacen seguir al pendientes del Irracional.

Answer 2

Quería encontrar una propia solución al ejercicio.

 

Sea $x_0 \in X$ cualquiera. Considera $\mathcal{O}_f(x_0)$ la órbita de $x_0$ por $f$ y sea $A$ el conjunto de puntos de acumulación de dicha órbita. Se satisface que $A$ es cerrado, por lo que es compacto al ser $X$ compacto. También se cumple que $A$ no es vacío por la definición de compacto ($X$ es compacto si y solo si todo filtro tiene un punto de acumulación). Solo restaría probar que $f(A) = A.$ El caso $f(A) \subset A$ es sencillo; en efecto, si $x \in A$ entonces existe una subsucesión $(y_{n_k})$ de la sucesión $(y_n = f^n(x_0))$ tal que $y_{n_k} \to x,$ por continuidad $f(y_{n_k}) \to f(x)$ y la sucesión $(f(y_{n_k}))$ está en $\mathcal{O}_f(x_0).$ Recíprocamente, si $x \in A$ entonces existe otra subsucesión $(y_{m_k})$ de $(y_n)$ tal que $y_{m_k}$ converge a $x.$ Considera la subsucesión $(y_{m_k - 1})$ de la sucesión $(y_n);$ por ser $X$ compacto, esta subsucesión posee un punto límite $y$ y una subsucesión de sí misma que converge a $y.$ Sea $(y_{m_k'})$ la subsucesión de $(y_{m_k - 1})$ que converge a $y.$ Se cumple que $(f(y_{m_k'}))$ es subsucesión de $(y_{m_k})$ que converge a $f(y)$ (otra vez la continuidad de $f$). Como $(y_{m_k})$ converge a $x,$ al ser el espacio $T_2,$ los límites son únicos, de este modo, $x = f(y)$ y $A \subset f(A).$