Conjunto cuya medida tiene una propiedad curiosa

Question

Esta pregunta se me ocurrió hace algún tiempo y no sé cómo abordarla:

Consideren a los reales con la medida de Lebesgue. Existen conjuntos densos con medida cero como los racionales y conjuntos con medida tal que si los intersectas con cualquier intervalo te da la medida completa del intervalo (como los irracionales). Pero

¿Existe un conjunto de números reales $A$ tal que para todos $a,b\in\mathbb{R}$ con $a<b$, la medida de $(a,b)\cap A$ es mayor que 0 pero menor que $b-a$?

Comments

Probablemente querías decir $(a,b)\cap A$.

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Ciertamente, gracias. Ya está corregido.

Answer 1

Podemos usar el conjunto que mencionó Beto Mercado como pieza básica para construir un ejemplo. (Lo que dijo Beto es que dado un intervalo se puede contruir un subconjunto cerrado con interior vacío y con medida positiva.) Sea $\{I_n : n \ge 1\}$ una lista de todos los intervalos con extremos racionales. Empecemos con $A_0 = \emptyset$. Supongamos que ya contruimos $A_{n-1}$ y que es un cerrado con interior vacío. Entonces hay algún subintervalo $J_n$ de $I_n$ contenido en el complemento de $A_{n-1}$; dentro de $J_n$ tomamos dos intervalos cerrados ajenos y en cada uno de ellos escogemos uno de los conjuntos de Beto, así obtenemos en $J_n$ dos conjuntos cerrados ajenos $S_n$ y $T_n$ con interior vacío y medida positiva. Definimos $A_n = A_{n-1} \cup S_n \cup T_n$.

El conjunto $S = \bigcup_{n \ge 0} S_n$ cumple las condiciones pedidas. Por construcción, de cada intervalo con extremos racionales, $S$ incluye una porción con medida positiva, $S_n$, y excluye una porción con medida positiva, $T_n$.

Comments

Excelente! Sólo por el lado de ver detallitos, creo que $A_{n-1}$ no debe ser denso. Pero es sólo un detallito, la construcción está perfecta según yo. Gracias!

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Tienes razón, eso fue un error de edición: primero tenía "denso en ninguna parte", pero después decidí cambiarlo a "con interior vacío" y cuando borré la primer frase se me olvidó borrar el "denso".

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Ahora que lo pienso, no basta que los $A_n$ tengan interior vacío, se tiene que pedir que sean nunca densos (o densos en ninguna parte), de otro modo no puedes asegurar la existencia de los $J_n$ (i.e. podrías tener que $A_{n-1}$ intersectara a todos los subintervalos de $I_n$).

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Los conjuntos $A_{n-1}$ son cerrados, así que para ellos ser densos en ninguna parte es lo mismo que tener interior vacío.

Answer 2

Variantes de la construcción del Conjunto de Cantor resultan en conjuntos nunca-densos, cuyo complemento satisface las condiciones que pides. Ver en http://en.wikipedia.org/wiki/Nowhere_dense_set

Es incorrecto!, ver comentarios abajo.

Comments

La construcción que aparece en ese artículo no cumple las condiciones: el complemento del conjunto de Cantor que construyen ahí contiene intervalos $(a/2^n − 1/2^{2n+1}, a/2^n + 1/2^{2n+1})$.

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Cierto!. Me apresuré, el conjunto (subconjunto del (0,1) ) es denso, con medida positiva y menor que 1, pero sus subconjuntos no cumplen la respectiva condición...

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De hecho el conjunto que pido tiene que ser denso, pues interseca a todos los intervalos. Además, su complemento debe tener la misma propiedad.