Hay funciones no integrables cuya gráfica tenga contenido (de Jordan) mayor a cero?

Question

Es muy conocido, y fácil de mostrar, que si una función real sobre un intervalo [a,b], es integrable Riemann, entonces su gráfica (como conjunto de R²) tiene contenido de Jordan cero. Desde luego, es fácil comprobar también que la afrimación recíproca es falsa (basta la función típica de Dirichlet en el [0,1]). La pregunta es: ¿existe una función acotada no integrable Riemann (definida sobre algún intervalo [a,b]), cuya gráfica tenga contenido de Jordan mayor a cero?

Answer 1

No, la gráfica de una función solo tiene dos opciones: o no tiene contenido de Jordan, o tiene contenido de Jordan cero. Esto es porque la gráfica de una función siempre tiene interior vacío y el contenido de Jordan de un conjunto $X$ solo existe si el interior de $X$ y la clausura de $X$ tienen la misma medida de Lebesgue, en cuyo caso, esa medida es el contenido de Jordan de $X$.

Comments

Bien! Eso es cierto. Pero ahora, siendo más específico: ¿Existe una función sobre algún [a,b], no integrable Riemann, pero cuya gráfica (como conjunto del plano) tenga contenido exterior de Jordan no nulo?