teorema de Fubini

Question

Sea $(\mathbb{N},\mathcal{A},\sharp)$  un espacio de medida con el sigma algebra de las partes y la medida de contar (cardinalidad) y sea $(\Omega',\mathcal{A}',\mu)$ un espacio de medida arbitraria. Entonces

1. Existe una única medida producto $\nu$ que está dado por: $\nu(C)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(C_{n})$.

Donde $C\in\mathcal{A}\times\mathcal{A}' $y  $C_{n}=\{y\in \Omega':(n,y)\in C \}\in\mathcal{A}'$

2. $f$ es integrable si, y solo si,

$\sum_{n=1}^{\infty}\int_{\Omega'}|f_{n}|d\mu<\infty$

En este caso, $$\int_{\mathbb{N}\times\Omega'}fd\nu=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{\Omega'}f_{n}d\mu=\int_{\Omega'}(\sum_{n=1}^{\infty}f_{n})d\mu$$.

Comments

Cn={y∈Ω′:(n,y)∈C}∈A′ : sección de $C$  por $n$.