Convergencia puntual de funciones

Question

Buenas tardes, estoy haciendo una demostración pero me falta este paso, agradecería mucho que me pudieran ayudar.

Si $f_n$ converge puntualmente a  f  en X y existe una función g que domina a $f_n$ en el sentido que $|f_n| \leq g$ casi donde quiera en X entonces $|f|\leq g$ casi donde quiera en X

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"casi donde quiera" puede significar muchas cosas. A veces es en todo X excepto en un número finito de puntos, a veces en todo X excepto en una cantidad numerable de puntos y a veces en todo X excepto en un conjunto de medida cero (entre otras) ¿a qué te refieres en esta ocasión?

Answer 1

Hola Guillermo, si te refieres a que casi donde quiera es que occure en todo X menos en un conjunto de medida 0 (suponiendo que tu espacio es un espacio con medida $\mu$ y que tus funciones son medibles), me parece que el siguiente argumento te puede funcionar:

 

Define a los subconjuntos $E_n \subset X$ como \[E_n=\left\{ x \in X : \mid f_n(x) \mid > g(x) \right\},\]

dado que $\mid f_n \mid \leq g$ casi donde quiera se tiene que $\mu(E_n)=0$ para todo $n$ natural. Luego nota que si $E = \left\{ x \in X : \mid f(x) \mid > g(x) \right\} $, entonces por la convergencia puntual tendras que si $x \in E$ entonces $x \in \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n$, es decir que \[ E \subset \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n, \]

así que por propiedades de medida (monotonia y $\sigma$subaditividad) tendrás \[ \mu(E) \leq \mu\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(E_n)=0\]

que claramente implica que $\mu(E)=0$, es decir que $\mid f \mid \leq g$ casi donde quiera, como se pedía

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¿Como ves que la sucesión de los $E_n$ es decreciente? Si esto fuera cierto, se podría hacer una demostración similar cuando $E_n$ es finito y cuando $E_n$ es numerable.

A simple viste me parece que está mal, pero puedes a lo mejor tomar la unión de las $E_n$ y decir que el conjunto donde $|f(x)|>g(x)$ está contenido en la unión. Luego usas la aditividad de la medida y obtienes algo similar que también sirve cuando $E_n$ es numerable más no cuando es finito.

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Tienes toda la razón, de hecho no es decreciente y la igualdad con la intersección infinita tampoco era verdadera, ya edite la respuesta con un argumento correcto, una disculpa.

Answer 2

Pensando el otro día en esto vi que hay una manera inmediata de verlo. Por la conevergencia puntual sucede que
\[
\mid f \mid = \lim_{n \to \infty} \mid f_n \mid
\]
Pero como por hipótesis para toda $n$ se tiene que $\mid f_n \mid \leq g $ c.d.q, entonces por lo anterior tendremos
\[
\mid f \mid = \lim_{n \to \infty} \mid f_n \mid \leq g \ \  \text{c.d.q}
\]
se sigue que $\mid f \mid \leq g$ c.d.q.

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Muchas gracias por la ayuda, si creo que era inmediato