¿Existe una función acotada pero cuya gráfica tenga contenido exterior de Jordan no nulo?

Question

Sabemos que la gráfica de una función real de variable real, como conjunto del plano, tiene contenido de Jordan nulo, o bien, no tiene contenido de Jordan (no es medible Jordan). Ello se debe a que el contenido interior de Jordan de la gráfica es siempre nulo. La pregunta es: ¿Existe una función acotada sobre algún [a,b] cuya gráfica (sobre el plano) tenga contenido exterior de Jordan no nulo?

Answer 1

Sí hay funciones cuya gráfica tiene contenido de Jordan positivo, por ejemplo, podemos construir una función cuya gráfica es densa en $[0,1] \times [0,1]$:

Hay una cantidad numerable de discos cuyo centro tiene coordenadas racionales entre 0 y 1 y cuyo radio es racional, escojamos una numeración de ellos $D_1, D_2, \ldots$. Definimos una función $f : [0,1] \to [0,1]$ de manera que la gráfica intersecte a todos los $D_i$, inductivamente como sigue:

En el $n$-ésimo paso, escogemos un punto $(x_n,y_n) \in D_n$ tal que $x_n$ no este el domino de la parte de $f$ que ya definimos (siempre se puede porque los puntos de $D_n$ tienen una infinidad de coordenadas $x$ distintas y solo hemos definido $n-1$ valores de $f$ hasta el momento) y declaramos que $f(x_n) = y_n$.

Esto solo define $f$ en un conjunto numerable de valores; eligimos los demás arbitrariamente.