Mostrar que el conjunto es abierto

Question

Llevo ya unos meses preparándome en temas de olimpiadas pero, debido a que me llamó la atención, he estado leyendo unas notas de cálculo de varias variables; primero estaba leyendo el Apostol y luego empecé con topología de $R^n$ en unas notas que me pasó mi primo (él estudia la licenciatura) y me encontré el siguiente problema que no he podido resolver:

Si $A$ es el conjunto de todos los $(x,y)$ en $R^2$ tales que $x^2+y^2>\pi$, muestre que A es abierto.

De antemano muchas gracias y siento la falta del formato.

Answer 1

Supongo que en esas notas estará este teorema bien conocido:

Una función $f:X\to Y$ es contínua en $X$ si y sólo si $f^{-1}(A)$ es abierto en $X,$ siempre que $A$ sea un subconjunto abierto de $Y.$

Ahora, para mostrar lo que quieres, sea $f:\Bbb R^2\to\Bbb R$ la función dada por $$f((x,y)):=x^2+y^2.$$ Luego, es claro que $f$ es contínua en su dominio, por lo que, como el segmento $(\pi,\infty)$ es abierto en $\Bbb R,$ entonces el conjunto $f^{-1}((\pi,\infty))$ es abierto en $\Bbb R^2$ y como $A=f^{-1}((\pi,\infty)),$ entonces $A$ es abierto en $\Bbb R^2.$