Mostrar que es Topología

Question

Considere la familia de espacios topológicos $\{(X_{\alpha},\tau_{\alpha})\}_{\alpha \in I}$ y de funciones $\{f_{\alpha}: X_{\alpha}\to Y\}_{\alpha \in I}$, donde $Y$ es un conjunto no vacío. Se define 

$\Upsilon:=\{V\subseteq Y: f^{-1}_{\alpha}(V)\in \tau_{\alpha}, \, \forall \alpha\in I\}$

Muestre que $\Upsilon$ es una topología en $Y$, y es la más fina que hace continua a todas las funciones $f_{\alpha}$.

 

Hola, estoy recien iniciandome en Topología, quisiera si me pueden ayudar con este problema. Gracias.

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Hola, alguien me puede ayudar?

Answer 1

Axioma (O1) de topología: si $(\mathrm{A}_\lambda)_{\lambda \in \Gamma}$ es una familia en $\Upsilon$ entonces para $\alpha \in \mathrm{I}$ dado, $f_\alpha^{-1} \left( \bigcup_{\lambda \in \Gamma} \mathrm{A}_\lambda \right) = \bigcup_{\lambda \in \Gamma} f^{-1}(\mathrm{A}_\lambda);$ por hipótesis, la familia $(f^{-1}(\mathrm{A}_\lambda)_{\lambda \in \Gamma}$ yace dentro de $\tau_\alpha,$ por lo que su unión también.

Axioma (O2) de topología: con tomar $\mathrm{V} = \mathrm{Y},$ se ve que $\mathrm{Y}$ pertenece a $\Upsilon$  y si $\mathrm{V}_1$ y $\mathrm{V}_2$ son dos conjuntos en $\Upsilon$ entonces para $\alpha \in \mathrm{I}$ dado, es cierto que $f_\alpha^{-1}(\mathrm{V}_1 \cap \mathrm{V}_2) = f_\alpha^{-1}(\mathrm{V}_1) \cap f_\alpha^{-1}(\mathrm{V}_2)$ y el conjunto en la derecha pertenece a $\tau_\alpha$ porque $\tau_\alpha$ es una topología.

Para ver que $\Upsilon$ es la más fina, hay que demostrar que si una topología $\Omega$ hace continuas a todas las funciones de la familia $(f_\alpha)_{\alpha \in \mathrm{I}}$ entonces $\Omega$ es un subconjunto de $\Upsilon.$ Dado $\mathrm{X} \in \Omega$ y $\alpha \in \mathrm{I}$ resulta de la hipótesis de continuidad de $f_\alpha$ para $\Omega$ que que $f_\alpha^{-1}(\mathrm{X})$ debe pertenece a $\tau_\alpha.$ Traducción: $\Omega \subset \Upsilon.$