Topología usual en $R$

Question

Muestre que el  conjunto de los números racionales no es la intersección numerable de cojuntos abiertos de $\mathbb{R}$ con la topología usual.

Answer 1

La siguiente prueba utiliza el Teorema de Baire, que establece que la intersección de una colección numerable de conjuntos densos y abiertos es no vacía (el Teorema viene como el ejercicio 22 en el capítulo III del libro Principles of mathematical analysis de W. Rudin, en su tercera edición y en Google obtienes varios resultados):

Supón, a manera de contradicción, que $\mathbf Q$ es la intersección de una colección numerable de conjuntos abiertos (en $\mathbf R$), i.e. $$\mathbf Q=\bigcap_{n\in\mathbf N}A_n,$$ donde $A_k$ es abierto en $\mathbf R,$ para cada $k.$ Luego, como $\mathbf Q$ es denso en $\mathbf R,$ se tiene que cada $A_k$ es denso en $\mathbf R.$

Ahora, sea $r:\mathbf N\to\mathbf Q$ una biyección, donde la imagen de cada $n\in\mathbf N$ la denotamos por $r_n.$ Luego $$\mathbf R\setminus\mathbf Q=\bigcap_{n\in\mathbf N}(\mathbf R\setminus\{r_n\}),$$ donde claramente $\mathbf R\setminus\{r_k\}$ es denso y abierto en $\mathbf R$ para cada $k.$ Luego, por el Teorema de Baire se tiene que el conjunto $$\left(\bigcap_{n\in\mathbf N}A_n\right)\bigcap\left(\bigcap_{n\in\mathbf N}(\mathbf R\setminus\{r_n\})\right)=\mathbf Q\cap(\mathbf R\setminus\mathbf Q)=\emptyset$$ es no vacío (pues es la intersección de una colección numerable de conjuntos abiertos y densos en $\mathbf R$), lo cual es absurdo.

Por lo tanto, $\mathbf Q$ no puede ser la intersección de una colección numerable de conjuntos abiertos (en otras palabras, $\mathbf Q$ no es $G_{\delta}$). $\square$