Gracias, pero, la definición que tengo, al menos en espacios métricos, utiliza cubiertas abiertas, traté de probar que $A$ es compacto utilizando el teorema de Heine-Borel (que es el que mencionas), pero me enredé, no tuve problemas al mostrar que $A$ es acotado, pero sí al mostrar qie es cerrado, y creo que mostrar que su complemento es abierto no simplifica mucho las cosas... luego sentí mejor el utilizar la definición.
PD: no tengo problemas con los conceptos, que creo que es lo que has pensado.