No entiendo (Principle of iterated suprema)

Question

Hola, perdonen que ponga el título en inglés, pero no sé como se llamaría este teorema en español...bueno, pues hace una semana me puse a leer The elements of real analysis de Robert G. Bartle y me he encontrado con un teorema que no logro entender del todo y tal vez mis dudas sean un poco tontas pero espero me puedan ayudar a resolverlas. El enunciado dice así:

> Sean $X$ y $Y$ conjuntos no vacíos y sea $f$ definida de $X\times Y$ a un subconjunto acotado de $\mathbb{R}$, además sea $$f_1(x)=\sup\{f(x,y):y\in Y\}$$ y $$f_2(y)=\sup\{f(x,y):x\in X\}$$. Demuestra que $$\sup\{f(x,y):x\in X, y\in Y\}=\sup\{f_1(x):x\in X\}=\sup\{f_2(y):y\in Y\}$$

 

Ahora, no comprendo las definiciones de $f_1(x)$ y $f_2(y)$, las definen como los supremos de unos conjunto de imágenes de $X\times Y$ bajo $f$ pero en una sólo escriben que son las $f(x,y)$ tales que $x\in X$ y en la otra que son las $f(x,y)$ tales que $y\in Y$, ésa parte no la entiendo, ¿por qué no escriben $f_1(x)=\sup\{f(x,y):y\in Y\ , x\in X\}$ ?, ¿por qué omiten ese detalle?, ¿por qué obtenemos el supremo de algo que está definido como el supremo de un conjunto?...espero me entiendan, no soy muy bueno explicándome, y espero me puedan ayudar a responder estas dudas tontas que tengo por favor..

 

Answer 1

Para cada $x\in X$ fijas su valor y haces variar $y\in Y$. Te fijas entonces en cual es el valor supremo de $f$ una vez que has fijado esa $x$. Eso es $f_1(x)$. Es una función de $x$ porque para cada $x$ que fijes el supremo al hacer variar $y$ es distinto. ($f_2$ es análogo).

Si aún no se te hace claro va un ejemplo. Sea $X=\{1,2\}$ y sea $Y=\{2,4\}$. Sea $f:X\times Y\to \mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=x+y$. Entonces $f_1(1)=\max(f(1,2),f(1,4))=\max(1+2,1+4)=1+4=5$ y $f_1(2)=\max(f(2,2),f(2,4))=\max(2+2,2+4)=2+4=6$. La otra sería $f_2(2)=4$ y $f_2(4)=6$. Puedes ver que el valor máximo de $f_1$ es 6, al igual que el de $f_2$ y también es el máximo valor que toma $f$ (que es el valor $f(2,4)$).

Comments

Oh ya, muchas gracias, me has sacado de dudas