NECESITO DE SU AYUDA PARA DEMOSTRAR ESTE PROBLEMA

Question

PRUEBA QUE LA INTEGRAL QUE VA DE 1 A INFINITO ∫〖(sen x)/x^P  dx 〗ES

1) ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE PARA P>1.

 2) ES CONVERGENTE PERO NO ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE PARA 0<P≤1

3) NO ES CONVERGENTE PARA P≤O

Comments

Nota que $\left| \dfrac{\sin x}{x^p} \right| \leq x^{-p}$ y que $\int_1^\infty x^{-p} dx < \infty$ para todo $p > 1$.

Que no converge para $p \leq 0$ se obtiene de que la función no converge a cero y es continua (o sea, debes probar que si $f$ es continua e $\lim_{n \to \infty} \int_1^{a_n} f(x) dx < \infty$ con $a_n \to \infty$ entonces $f(x) \to 0$ conforme $x \to \infty$)

El segundo punto no lo veo inmediatamente.

Answer 1

Te voy a dar una idea para el caso que falta por analizar, y me voy a centrar en el valor específico p=1. Esto es, voy a analizar el caso f(x)=sen(x)/x. Nota que los ceros de esta función son los mismos que los de sen(x). Entonces la idea es esta (y la puedes entender gráficamente): Considera el intervalo I_1 = [pi ; 2*pi]. En este intervalo la función f es negativa y se hace cero en los extremos. El área de esta función en I_1, se puede acotar con un rectángulo de base pi y altura 1/(pi) (esta altura resulta de tomar "x" como el menor valor del intervalo y hacer sen(3*pi/2) ). Considera ahora el intervalo I_2 = [2*pi ; 3*pi]. En este intervalo, f es positiva y se puede acotar con un rectángulo de base pi y altura 1/(2*pi). Y en general cada intervalo I_n de longitud pi se puede acotar de la misma forma en la que te estoy mostrando. Entonces la gráfica de tu función queda acotada mediante rectángulos cuya suma corresponde a una serie alternante que es convergente condicionalmente (esta serie es la serie armónica alternante). Tal vez no fui muy claro, si quieres me escribes después, yo no sé manejar muy bien este medio.