Question

Mostrar que $\sum \frac{1}{q^{deg p(x)}}$ diverge, donde la suma es sobre todos los polinomios monicos irreducibles $p(x)$ en $K[x]$, donde $K$ es un campo finito de $q$ elementos.

Este es un ejercicio del libro de Teoria de numeros de Michael Rosen, en el cual se da una idea de como demostrarlo, pero no he podido concluir lo deseado.

La idea es mostrar que $\sum q^{-deg f(x)}$ diverge y que $\sum q^{-2deg f(x)}$ converge donde la sumas es sobre todos los polinomios monicos $f(x)$ en $K[x]$  y de aca deducir que $\sum q^{-deg p(x)}$ diverge.

Note que si consideramos $\sum_{deg f(x) \leq n} q^{-deg f(x)}$ esta suma es equivalente a $ \sum_{m=0}^{n} q^{m}q^{-m} = n+1$ de donde si $n$ tiende a infinito $\sum q^{-deg f(x)}$ diverge. Similarmente $\sum_{deg f(x) \leq n} q^{-2deg f(x)}= \sum_{m=0}^{n} q^{m}q^{-2m} = (1-1/q)^{-1}$ la cual converge cuando $n$ tiende a infinito.

De lo anterior como se puede deducir que en efecto $\sum \frac{1}{q^{deg p(x)}}$ diverge?

Comments

Compañero waldo, seguramente quisiste poner $K$ en lugar de $K[x]$ cuando dices "..., donde $K[x]$ es un campo finito de $q$ elementos."

---

Tienes razon Enrique, ya corregui el error.

Answer 1

Sean $f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots, f_{\ell}(x)$ los polinomios mónicos e irreducibles de $K[x]$ cuyo grado es menor o igual a $n$. Denotemos con $d(f)$ al grado del polinomio $f(x)$ y definamos

$\displaystyle \lambda(n) = \prod_{i=1}^{\ell} \left(1+q^{-d(f_{i})} + q^{-2d(f_{i})} + \ldots\right).$

Al efectuar el producto en la derecha se obtiene que

$\displaystyle \lambda(n) = \sum \frac{1}{q^{d(f(x))}}$

donde la suma es sobre todos los polinomio mónicos en $K[x]$ de la forma

$f_{1}(x)^{a_{1}}f_{2}(x)^{a_{2}} \cdots f_{\ell}(x)^{a_{\ell}}$

para algunos $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{\ell} \in \mathbb{Z}^{+}$. Puesto que cada polinomio mónico de $K[x]$ cuyo grado se encuentre entre $1$ y $n$ se puede representar en dicha forma se sigue que

$\lambda(n) > n.$

......... (1)

Por otro lado,

$\begin{eqnarray*} \log \lambda(n) &=& - \sum_{i=1}^{\ell} \log \left(1-\frac{1}{q^{d(f_{i})}}\right)\\

&=&\sum_{i=1}^{\ell} \sum_{m=1}^{\infty} \left(m\left(q^{d(f_{i})}\right)^{m}\right)^{-1}\\

&=& \left(\frac{1}{q^{d(f_{1})}} + \frac{1}{q^{d(f_{2})}} + \ldots + \frac{1}{q^{d(f_{\ell})}}\right) + \sum_{i=1}^{\ell} \sum_{m=2}^{\infty} \left(m\left(q^{d(f_{i})}\right)^{m}\right)^{-1} \end{eqnarray*}$

y

$\begin{eqnarray*}\sum_{m=2}^{\infty} \left(m\left(q^{d(f_{i})}\right)^{m}\right)^{-1} &<& \sum_{m=2}^{\infty}\left( \frac{1}{q^{d(f_{i})}}\right)^{m}\\ &=& \left(q^{d(f_{i})}\right)^{-2}\left(1-\left(q^{d(f_{i})}\right)^{-1}\right)^{-1}\\ &\leq& 2\left(q^{d(f_{i})}\right)^{-2}.\end{eqnarray*}$

De todo esto se desprende que

$\begin{eqnarray*}\log \lambda(n) < \left(\frac{1}{q^{d(f_{1})}} + \frac{1}{q^{d(f_{2})}} + \ldots + \frac{1}{q^{d(f_{\ell})}}\right) + 2 \left(\left(q^{d(f_{1})}\right)^{-2}+\ldots+\left(q^{d(f_{\ell})}\right)^{-2}\right).\end{eqnarray*}$

......... (2)

Para establecer la divergencia de la serie

$\displaystyle \sum \frac{1}{q^{d(f(x))}},$

......... (3)

donde la suma es sobre todos los polinomios mónicos de $K[x]$), se procede como sigue: puesto que ya se sabe que la serie $\displaystyle \sum \frac{1}{q^{2d(f(x))}}$, considerada sobre todos los polinomios mónicos de $K[x]$, converge entonces también lo hace si la suma se considera únicamente sobre los polinomios irreducibles de $K[x]$. Luego, si suponemos que la serie en (3) es convergente, la desigualdad en (2) aseguraría la existencia de una constante $C>0$ tal que

$\log \lambda(n) < C.$

La desigualdad esta entra en contradicción con lo que se tiene en (1) y el resultado se sigue.