¿Cuántos triángulos se pueden formar?

Question

Buenas noches. Me preguntaba lo siguiente: ¿cuántos triángulos se pueden formar? Es claro que no hay tantos como $\mathbb{R}^{6}$, esto es, especificando lados y ángulos. Claro me refiero al plano euclideano. Gracias por las respuestas de antemano.

Comments

¿Puedes por favor redactar mejor tu pregunta? No entiendo exactamente qué quieres contar.

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Buenas noches, me refería a lo siguiente: ¿cuántos triángulos existen? Al menos tener una idea del cardinal de los mismos, como mencione anteriormente la primera idea que podría venir a la mente es: hay tantos como R^{6}, pero luego tienes las restricciones sobre los lados (desigualdades triángulares) y sobre los ángulos (suma es 180°) ... Espero que haya hecho más clara mi pregunta. Y un agradeciemiento a Carlos.

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No creo que preguntar sobre la cardinalidad sea la pregunta correcta. Es claro que esta es la del continuo. Pero esto no te dice mucho, pues la cardinalidad de cualquier $\mathbb{R}^n$ es la misma.

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Creo que es importante también decir cómo cuentas. La cardinalidad del conjunto que describe Carlos en su respuesta es la misma que la cardinalidad de $\mathbb{R}$, que de paso, es igual a la de $\mathbb{R}^{6}$. ¿Cómo los quieres contar?

Answer 1

Los triangulos en el plano estan caracterizados por las longitudes de sus lados. Las ternas de numeros positivos que ocurren como lados de triangulos estan totalmente determinadas por las desigualdades del triangulo. En otras palabras si $\Delta$ denota el espacio de triangulos en el plano modulo isometrias, entonces existe una biyeccion entre $\Delta$ y el cono $\{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \;|\; d(x_i,x_{i+1})+d(x_{i+1},x_{i+2})\geq d(x_{i+2},x_i)\}$ modulo permutaciones de las coordenadas.

Puedes tambien ver mi respuesta a esta pregunta

http://irracional.org/index.php/703/espectro-de-la-suma-matrices-es-igual-la-suma-de-los-espectros

en la que escribo sobre una generalizacion a esta pregunta y su relacion con los eigenvalores de matrices cuya suma es cero.

Comments

Observacion: la misma pregunta pero ahora sobre triangulos en el plano hiperbolico tiene la misma respuesta.