Probabilidad de formar las diversas clases de triángulos, según sus ángulos.

Question

Se elige aleatoriamente 3 puntos distintos (A, B, C) del plano cartesiano, se verifica que no son colineales. Luego de unir los puntos con segmentos de recta, conformándose el Δ ABC:

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¿Cuál es la probabilidad de que dicho triángulo sea "acutángulo"? ¿Cuál, la de que sea "obtusángulo"?

Por tanto, ¿qué probabilidad hay de que el Δ sea "rectángulo"?

 

Answer 1

Si pienso que un triángulo está determinado completamente por dos de sus ángulos el espacio de todos los triángulos es de nuevo un triángulo. La mitad son acutángulos, la mitad son obtusángulos y una línea son los rectángulos. Las probabilidades seríam 0.5, 0.5 y 0 respectivemente.

La probabilidad de tener un triángulo isóceles sería cero también.

Comments

Pues, Ferran:

Es posible, ciertamente, llevar el problema planteado con puntos, directamente hacia lo que nos interesa [los valores de los ángulos], dado que cualquier terna de puntos es equiprobable, y por consecuencia, también es igual de probable obtener cualquier terna de medidas de ángulos interiores para un triángulo. Hablaríase de probabilidades "infinitesimales", en dichos casos.

Suponiendo, claro, que has procedido correctamente, considerando de forma indirecta la restricción para el 3er ángulo (sea 'c') del Δ ABC; esto, acotando la suma de valores de los ángulos 1ro y 2do ('a' y 'b'):

a>0; b>0; 0 < a+b <π

Luego, como dices , se puede entender el conjunto de valores respectivos, en una región triangular (Δ rectángulo isósceles, de π unidades de longitud para cada cateto).

Para que Δ ABC sea rectángulo, coincidimos en que los casos favorables están localizados unidimensionalmente, lo que lleva a la nula probabilidad de su aparición.

No así, lo que mencionas para el caso de "acutángulos" y obtusángulos"..se obtienen regiones "no-equivalentes"; revísalo cuando puedas. Gracias.