Probabilidad de conformar un cuadrilátero cóncavo (no–convexo)

Question

En el plano cartesiano (ℝ²), se tomaron 3 puntos no colineales: A, B, C. Luego, se elegió al azar otro punto D, del mismo plano infinito, y se trazaron los segmentos de recta: AB, BC, CD, DA

Se pide calcular la probabilidad de que se haya conformado el cuadrilátero cóncavo ABCD.

 

Comments

Después de pensarlo un momento, va a depender del ángulo ABC. Para fijar ideas, llamemos $\theta$ al ángulo exterior del triángulo ABC en el vértice B (dicho ángulo se denomina ángulo cóncavo). Como la región ABC es de área finita, podemos pensar que es de probablidad muy pequeña, o sea, 0. Si D cae en el cono ABC con ápice en B, dicho cuadrilátero es convexo. Si no, entonces es cóncavo. Así que mi 'feeling' dice que la probabilidad que se pide es $\frac{\theta}{2\pi}$. En las próximas horas pondré una respuesta completa.

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Gracias por la atención, Chris.

Ojo que el ángulo cóncavo que determinaría la misma condición para el cuadrilátero ABCD, puede ubicarse en cualquiera de los 4 vértices: A, B, C ó (¡inclusive!) D.

Adelante!

Answer 1

La pregunta está mal definida por dos razones:

1. El planteamiento distingue la eleccion de $D$ después de haber elegido $A,B,C$. Yo interpreto esto como "Dados $A,B,C$, cual es la probabilidad del evento deseado con respecto a la elección de $D$". ¡Pero esto depende del ángulo $ABC$! En particular puede ser que el ángulo sea mayor que $\pi$, en cuyo caso la probabilidad es 1 :)  El problema seria distinto si los cuatro puntos son elegidos al azar simultáneamente.

2. Más importante aún es el hecho de que no existe una medida canónica en $\mathbb{R}^2$ que sea finita, así que no tiene sentido decir que los puntos son elegidos al azar. ¿Con respecto a una distribución Gausiana alrededor del vertice $B$? ¿Alrededor del origen? ¿Con otra distribución que aproxima la medida angular para radios muy grandes?

Comments

Gracias por participar, Rodrigo.

Pues, que me disculpe la escuela matemática y el rigor científico: con todo respeto de la comunidad, este asunto es sencillo, y no le encuentro ningún error de concepción ni de expresión en el planteamiento:

1.- No se ve ningún inconveniente en tomar, primeramente, los 3 puntos no colineales A, B, C; obsérvese, claro, que siempre hay 2 ángulos ABC: uno, convexo (medida < π) y el otro, cóncavo (medida > π). Dependiendo de la ubicación que corresponda, luego, a 'D', se observa si se forma o no un cuadrilátero cóncavo.

→ Si los 4 puntos (distintos) A, B, C, D, fueran elegidos "simultáneamente al azar" (fuera de la posibilidad de que A, B, C resulten 'coincidentemente' colineales, lo cual no variaría el valor de la probabilidad solicitada), la situación es idéntica a la planteada en el enunciado original de la pregunta, pues la ubicación de los puntos no presenta restricciones; si en algún "intento" resulta(n) algún(os) punto(s) superpuestos, se repite hasta llegar a puntos de diferente ubicación.

2.-  La elección "al azar" del punto 'D' me parece muy sencilla de concebir; en lo que se refiera a llevarla a cabo (en la práctica), podría adoptarse alguna idea 'lo más general posible'..por ejemplo, ángulos y distancias aleatorias [usando distribuciones que abarquen —parafraseando una sugerencia— "radios muy grandes" respecto a las distancias de los puntos (A, B, C) al origen, etc.]
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Si hubiera alguna idea que no he captado de la observación de Rodrigo, agradeceré que se pueda explicitar, por parte de cualquiera. Gracias, nuevamente.

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@Michel Anthony: La frase "seleccionar D al azar" no tiene sentido si no se especifica una distribucion de probabilidad en el plano.

Especificar una distribucion significa dar un metodo para calcular la probabilidad de que D caiga en una region dada. Por ejemplo, en el cuadrado unitario usamos area. Imagina que D es elegido tirando dardos. La probabilidad de que D caiga en el circulo de radio 1/2 es π/4, el area del circulo.

¡Pero en el plano esto no funciona! El plano tiene area infinita y obtenemos contradicciones. Ahora bien, si es posible escoger una distribucion que le de medida 1 a todo el plano, y entonces podemos hablar de la probabilidad de que D caiga en cierta region con respecto a esa distribucion. El problema es que hay muchas maneras de hacer esto, y dan respuestas diferentes.

Entonces pues... ¿Con respecto a que distribucion escogemos a D?

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Considera el siguiente problema: Dado un punto en el plano al azar, cual es la probabilidad de que el punto este en el medio plano superior $\{y>0\}$? Cualquiera con un poco de sentido comun diria que la probabilidad es $\frac{1}{2}$, aun cuando uno no tenga una medida de probabilidad canonica en el plano.

El problema es que la respuesta no siempre es tan clara como en este caso. En otros ejemplos un poco mas complicados, la probabilidad depende fuertemente en el mecanismo con el que se "escoge" el punto al azar, pero existen varios mecanismos que parecerian "naturales". Recomiendo que leas sobre la paradoja de Bertrand:

http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_(probability)