Yo trabajo con estructuras combinatorias llamadas "politopos abstractos" o "politopos combinatorios". Buscan representar la estructura de incidencia de los politopos clásicos.
Un politopo abstracto es un conjunto parcialmente ordenado, entendiendo que los vértices, aristas, etc. son simples elementos de rangos 0, 1, etc. que con los siguientes axiomas:
1) El politopo tiene un único elemento máximo (asociado usualmente al total) y un único elemento mínimo (asociado usualmente a $\emptyset$).
2) Todos los conjuntos parcialmente ordenados máximos tienen el mismo número de elementos, y a ese número se le llama el rango del politopo. A los elementos de rango 0 les llamamos vértices, y a los de rango 1 les llamamos aristas.
3) Dados dos elementos incidentes de rangos $i+1$ e $i-1$ existen exactamente dos elementos del politopo de rango $i$ incidentes a ámbos. Ésta es la propiedad característica de los politopos que generaliza los hechos de que dos aristas contienen siempre exactamente dos vértices y que en un poliedro una arista siempre pertenece a exactamente dos caras. A esta propiedad se le llama la propiedad del diamante y también la cumplen los politopos clásicos en dimensiones mayores.
4) Es fuertemente conexo, que significa lo siguiente. Para todo par de elementos incidentes $F \le G$, el conjunto de elementos $H$ tales que $F < H < G$ es conexo en el sentido de que si $H$ y $K$ están, en ese conjunto entonces existe una sucesión $H=H_1, H_2, \dots, H_s$ con $H_s=K$ en el mismo conjunto tales que $H_i$ y $H_j$ son incidentes. Esto hace que las caras de los politopos no se identifiquen de más, por ejemplo, que un cuadrado no tenga dos vértices opuestos identificados. Si bien la definición formal usa este tipo de conexidad, la definición que usaba Grünbaum para poliedros (experto en el área) era una versión más débil.
