Si $x_n$ es una sucesión que converge a $0$, entonces $f(x_n)$ es de Cauchy en R, y por tanto tiene un límite. Definimos $g(0)$ como tal número real. Análogamente para $g(1)$ (y para $x \in (0,1)$, $g=f$, por supuesto).
Por la continuidad uniforme, $g$ está bien definida y es continua.