FUNCIONES MEDIBLES

Question

Sea $(\Omega,\mathcal{A})$ un  espacio medible con  $\mathcal{A}$ separable. Entonces  existe $f:\Omega\rightarrow \mathbb{R}$ MEDIBLE tal que $\mathcal{A}=f^{-1}(\mathcal{B})$, donde $\mathcal{B}$ son los borelianos de $\mathbb{R}$.

Nota: Um $\sigma$-álgbra $\mathcal{A}$ es separable, si existe   $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{A}$, con $\mathcal{C}$ enumerable  (no necesariamente $\sigma$-algebra) tal que $\sigma(\mathcal{C})=\mathcal{A}$ y $\sigma(\mathcal{C})$ es el $\sigma$-álgbra generado por $\mathcal{C}$.

Comments

y qué propiedad tiene la $f$? solo que rescata la $\sigma$-álgebra? Podrías recordarme qué es una $\sigma$-álgebra separable?

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La pregunta no tiene sentido, $f^{-1}(B)$ es un conjunto de puntos en $\Omega$, mientras que $\mathcal{A}$ es una familia de conjuntos de $\Omega$.

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Hay un problema de notación. Si cambia $B$ por $\mathcal{B}$ creo que ya tiene sentido. Por otro lado, no entiendo bien la definición de $\sigma$-álgebra separable. Hay que corregir el enunciado. Yo propondría:

Sea $(\Omega, \mathcal{A})$ un espacio medible tal que $\mathcal{A}$ es una $\sigma$-álgebra separable. ¿Esto implica que existe una función medible $f:\Omega \to \mathbb{R}$ de tal manera que para todo $B \in \mathcal{B}$ (donde $\mathcal{B}$ es la $\sigma$-álgebra de Borel en $\mathbb{R}$), $f^{-1}(B) \in \mathcal{A}$?

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@Rafa: No creo que esa sea la pregunta. Asi como lo escribes la existencia de $f$ es clara (toma $f$ constante). Yo creo que la propiedad que busca es que para todo $A\in \mathcal{A}$, existe $B\in\mathcal{B}$ con $A=f^{-1}(B)$.

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Tienes razon @Carlos. Por otro lado, ¿Podrías escribir a detalle la definición de $\sigma$-álgebra separable @Raul Tintaya? Eso seria de mucha ayuda,

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Um $\sigma$-álgbra $\mathcal{A}$ es separable, si existe una clase de conjuntos  $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{A}$ no necesariamente $\sigma$-algebra tal que $\sigma(\mathcal{C})=\mathcal{A}$

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Y que significa $\sigma(\mathcal{C})$? Todas estas aclaraciones que estas haciendo posteriormente en los comentarios deberias incluirlas en la pregunta original. Asi cuando alguien vea la pregunta no tenga que leer todos los comentarios para entender de que se trata.

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¿Qué otra condición especial debe cumplir la clase $\mathcal{C}$? Porque si no más es lo que escribiste, Raul, y además $\sigma(\mathcal{C})$ es la $\sigma$-álgebra generada por $\mathcal{C}$, entonces toda $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}$ es separable, basta tomar $\mathcal{C}=\mathcal{A}$. Raul, creo que es necesario escribir bien la pregunta.

También esta la duda de si $f$ es medible o no.

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Agradesco mucho las observaciones. Ahi va la PREGUNTA tomando en cuenta todas las observaciones.