integral -funciones medibles

Question

Sea $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ un espacio de medida. Provar que $\mu$ es $\sigma$-finita, si y sólo si, existe $f:\Omega\rightarrow(0,+\infty)$, tal que $$\int_{\Omega}fd\mu<\infty$$

Answer 1

♦Supongamos que $\mu$ es $\sigma$-finita, en consecuencia $\Omega=\cup_{n=1}^\infty X_n$ donde cada $X_n$ tiene medida finita.

Definamos $f:\Omega\to (0, \infty)$ como $$f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n(1+\mu(X_n))}1_{X_n}(x),$$ donde $1_{X_n}$ denota la función característica  de $X_n$, notamos que

\begin{eqnarray}

\int_{\Omega}fd\mu&=&\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n(1+\mu{X_n})}\int_{\Omega}1_{X_n}(x)\\

&=&\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n(1+\mu{X_n})}\mu(X_n)\leq\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}<\infty\\

\end{eqnarray}

Así demostramos la primera parte.

♦ Supongamos ahora que existe $f$ con las condiciones impuestas. Definamos $$X_n=\{x\in\Omega: f(x)>n\},$$ en consecuencia $\Omega=\cup_{n=1}^\infty X_n$ y $$\mu(X_n)\leq \frac{1}{n}\int _{X_n}fd\mu<\infty.$$ Así completamos la demsotración.

 

Espero lo hayas entendido.

Saludos

Comments

Bienvenida amiga (Y)

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Gracias, espero poder ayudar

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Na segunda parte da demsotración $X_n=\{x\in\Omega: f(x)>n\}$? ó $X_n=\{x\in\Omega: f(x)>\frac{1}{n}\}$ y la última conclusión no me quedó muy claro.

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Es $X_n= \{x\in \Omega:f(x)>n\}$, notamos que $\Omega=\cup X_n$ y además $f>n 1_{X_{n}}$ donde $1_{X_{n}}$ es la función característica de ${X_{n}}$. En consecuencia
$$n\mu(X_n)=n\int \limits_{X_n}1_{X_{n}} d\mu \leq \int \limits_{X_n}fd\mu$$ por tanto $$\mu(X_n)\leq \frac{1}{n}\int \limits_{X_n}fd\mu<\infty$$ así $\mu(X_n)<\infty$ para todo n y $\Omega= \cup_{n=0}^{\infty} X_n$, lo que implica que $\Omega$ es $\sigma$ finito.

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Hola, veo que llego poco más de un año tarde a la discusión. Sin embargo, me parece que la segunda parte de la demostración es incorrecta. Primero no es verdad que $\Omega=\bigcup_{n=1}^{\infty} X_n$ pues faltaría el conjunto $X_0$ y más aún, como $f:\Omega \to (0,\infty)$ en realidad $\Omega=X_0$. Pero en la demostración dada se usa que $\mu(X_n) \leq \frac{1}{n} \cdots$, que fallará para el caso $X_0$. Creo entonces, si no me equivoco en lo anterior, que hay que buscar un argumento distinto.