Una de operadores compactos

Question

 

 Verdad o falso: Si $\{\ {T_{n}\}\}_{n\ in \mathbb{N}}$ es una sucesion de operadores compactos en un espacio de Banach, que

converge puntualmente para u operador $T$, entonces

(a) $T$ e compacto,

(b) $T$ e limitado (acotado)

Comments

¿Es: "Verdad o falso: Si $\{\{ {T_{n} }\}\}_{n\in \mathbb{N}}$ es una sucesión..." ?

Answer 1

 

La afirmación en (a) es falsa: 

 

Considerar por ejemplo el espacio de Banach $X =  \ell^2$ (espacio de sucesiones reales cuyo cuadrado es sumable).

 

Definir $T_n : X \rightarrow X$ por $T_n(x) = (x_1, x_2 , \ldots, x_n, 0 , 0, \ldots )$ para cada $x = \{ x_n\} \in X$. Entonces $T_n$ tiene rango de dimensión finita y es por tanto compacto. Además

 

$$ \| T_n(x) - x \|_X = \sum_{k=n+1}^{\infty} |x_k|^2 \rightarrow 0 \mbox{ cuando } n \to \infty, $$

 

es decir $T_n $ converge puntualmente a la identidad (que no es un operador compacto, al ser $X$ de dimensión infinita).

 

 

 

La afirmación en (b) es cierta (teniendo como hipotesis simplemente que los $T_n$ son continuos, no necesariamente compactos). Esto es corolario del Teorema de Banach-Seteinhaus: 

http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness_principle