operadores compactos

Question

 

Sean X e Y espacos de Banach y  T  um operador compacto de X en Y. Provar que la imagem de T no 

contiene ningun subespacio  vetorial cerrado de dimension infinita.

Answer 1

Sea $F\subseteq Im(T)$ cerrado en $Y$. Sea $E = T^{-1}(F)$ que es cerrado en $X$ por ser la preimagen de un cerrado por una función continua. Entonces

$$T: E\rightarrow F$$

es un operador compacto y sobreyectivo. Como $E$ y $F$ son espacios de Banach (por ser subespacios cerrados de espacios de Banach) el teorema de la aplicación abierta implica que $T$ es abierta. Por lo tanto $\overline{T(B_E)}$ es un compacto de interior no vacio en $F$. Por el teorema de Riesz, $F$ debe ser de dimensión finita.

Comments

Necesitas verificar que ese compacto es no vacio?

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tiene interior no vacío.....

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Error mio, quize decir si realmente es necesario mostrar que el interior es no vacio?