Parametrización de y=±1?

Question

Bueno, estaba buscando maneras de parametrizar y=±x, o x=±y, en realidad no importa. La idea es encontrar parametrizaciones mediante funciones que se puedan definir fácilmente en un PC.

Y tengo una manera, el asunto es que no es la más versátil.

Consiste en las ecuaciones paramétricas:

x=2arg(cos(t))/π-1

y=sen(t)/|cos(t)|

Esta surgió pensando que la proyección mercator de un meridiano es un par de rectas paralelas. Eso, teniendo en cuenta que la proyección mercator típica es m:ℝ³→ℝ², (x,y,z)→(arg(x+yi),z/|x+yi|)

Otra parametrización sería

x=cos(t)/|cos(t)|

y=sen(t)/|cos(t)|

Alguna otra parametrización distinta?

Comments

No chequé mucho tu primera parametrización, pero me parece que algo anda mal en la segunda. Si $x=\cos(t)/|\cos(t)|$ entonces los únicos valores que puede tomar $x$ son $1$ y $-1$, en cuyo caso la única cosa que podrías estar parametrizando es alguna recta paralela al eje $y$ (pero definitivamente *no* la recta $x=\pm y$).

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Error mío, no quiero parametrizar y=±x sino y=±1 xD...
Ambas parametrizaciones hacen lo mismo practicamente, así que la primera tampoco grafica y=±x, lo que hace es parametrizar y=±1.

Answer 1

Me atrevo a sugerir la siguiente parametrización (para la recta $x=\pm1$, si quieres $y=\pm1$ pues intercambias $x$ y $y$):

$x=t/|t|$,

$y=\ln|t|$

con $t\neq0$. Hace lo mismo que las que tú pones arriba ($x$ sólo toma valores $1$ o $-1$, dependiendo del signo de $t$, y mientras tanto $y$ toma cualquier valor para cada signo de $t$ porque la imagen de los reales positivos bajo $\ln$ es todo $\mathbb R$).

Comments

Yo diría que hay un problema con tu parametrización. La ecuación x=t/|t| solo toma el valor negativo (-1) cuando t<0, y en estos puntos y=ln(t) no está definida. El resultado es que solo se grafica la recta y=1.

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Ah, pero yo no dije que $y=\ln(t)$ sino que $y=\ln(|t|)$ (nótese que la única restricción que mencioné fue que $t\neq0$, pero permití que $t$ fuera negativo). O sea que para $t<0$, los valores de $y$ otra vez recorren todos los reales y obtienes tu segundo "trozo", la recta $x=-1$.

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Sí, lo vi mal.