Funciones "periódicas", al componerse repetidamente, cada una consigo misma.

Question

¿Qué funciones g: ℝ → ℝ, de regla de correspondencia g(x), y de cualquier dominio, cumplen que:

g[g[g[g[g[.....g[g[x]]....]]]]] = x , siendo "n" el número (arbitrario) de composiciones consigo misma?

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¿Se encuentran condiciones/restricciones para los valores de 'n'?

 

Answer 1

Suponiendo que $n\in\mathbb{N}$, la relación anterior se puede escribir como $g\circ g\circ\cdots\circ g={\rm id}_{\mathbb{R}}$ de donde concluimos que $g$ debe ser una función biyectiva (si $f\circ h$ es biyectiva, entonces $f$ es suprayectiva y $h$ es inyectiva). Así, el conjunto de funciones que estamos buscando es un subconjunto del grupo simétrico en $\mathbb{R}$, es decir, el grupo de permutaciones de $\mathbb{R}$.

Ahora, se sabe que toda permutación es producto de ciclos disjuntos. Supongamos que $g$ es una permutación en $S_{\mathbb{R}}$ y sea $L$ el conjunto de ordenes de los ciclos que aparecen en la descomposición de $g$ como producto de ciclos disjuntos. Si $g$ es de orden finito, entonces existe $n\in\mathbb{N}$ tal que para todo $\ell\in L$ se tiene $\ell|n$, es decir, $\ell$ es un divisor de $n$. Recíprocamente, si existe un múltiplo común para los elementos de $L$, entonces $g$ debe ser una permutación de orden finito.

Comments

Gracias por participar, Enrique.

** Veo que has analizado, primero, la relación entre los conjuntos de "partida" y "llegada"; bueno, se dio la libertad de dominio, tanto en la condición inicial { "de correspondencia g(x), y de cualquier dominio"}, como en la pregunta en sí { "g[g[g[g[g[.....g[g[x]]....]]]]] = x",  que solo enfatiza en la regla de correspondencia..tu expresión "g∘g∘⋯∘g = id" sería más específica, involucraría dominios, lo que no se ha exigido considerar}. Luego, no-necesariamente se sigue la "biyectividad" para la función 'g'.

** En lo siguiente, consideraste un interesante análisis de permutaciones. De la observación que hice antes, debe tenerse en cuenta que los dominios pueden no coincidir; además de que, el número de elementos de los dominios puede ser "infinito"..

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¡Ah! Por cierto, Enrique, es como dices, n∈N: el número de composiciones es finito, claro!

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Al decir $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ya estas declarando el dominio. Si una función tiene la misma regla de correspondencia que otra pero con dominios distintos, no puedes llamarlas igual porque no son funciones iguales; por ejemplo, sea $A$ un subconjunto de $B$ y considera la inclusión $\sigma:A\to B$ y la función identidad ${\rm id}_B:B\to B$, las reglas de correspondencia son $\sigma(a)=a$ y ${\rm id}_B(a)=a$ para todo $a\in A$, pero no son las mismas funciones. En este caso, la composición ${\rm id}_B\sigma$ esta definida mientras que $\sigma{\rm id}_B$ no! Para que el problema tenga sentido, tienen que ser permutaciones

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Otra cosa. Para probar la biyectividad: una función es inyectiva $h$ si y sólo si siembre que tengamos $hf=hg$ implica que $f=g$; por el axioma de elección, se puede ver que una función $h$ es suprayectiva si y sólo si $fh=gh$ implica $f=g$. Con estos criterios, es evidente la afirmación que hice: "si una composición $fg$ es inyectiva (resp., suprayectiva) entonces $g$ (resp., $f$) es inyectiva (resp., suprayectiva)." Voy a probar la primera: supongamos que $fg$ es inyectiva y consideremos la ecuación $gh=gu$, entonces $f(gh)=f(gu)$ y por la asociatividad, $(fg)h=(fg)u$ y como $fg$ es inyectiva, se concluye $h=u$. Por tanto, $g$ es inyectiva. Con la misma técnica pruebas la otra.

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Es que yo no digo que las funciones sean iguales, Enrique:

* h(x) = g(x) no implica la igualdad de las funciones 'h' y 'g'. La referencia con los paréntesis es específica, va para las reglas de correspondencia, solamente.

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Con "g: ℝ → ℝ" expreso que "ℝ" es tanto, CONJUNTO de PARTIDA, como de LLEGADA. Por si acaso, no tomo al conjunto de partida de la función como su "dominio" (ese es el caso específico de una función "aplicación"...una parte de matemáticos lo están tomando como sinónimos; no es mi caso).

En otras palabras: "dominio de g" no necesariamente es igual a Conjunto de Partida de 'g'..el dato solo se establece que dom g ⊆ ℝ.

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Entiendo a qué te refieres. Lo incómodo, y que es algo que te recomiendo cuidar, es que si dices "la función $g:A\to\cdots$", entonces dices que $g$ se define en todo $A$; lo que tu quieres decir es $g:X\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Aunque sea más largo, pero tienes que escribirlo de manera completa, para evitar confusiones (esto es por cortesía a los que lean, no para ti). Otra cosa, si las funciones no son iguales, entonces no las denotes con el mismo símbolo (por favor), eso es un error que no se debe de cometer, no solo por cortesía sino porque las matemáticas tienen que escribirse como deben! Esto de "conjunto de partida" no se bien si es aceptado por los conjuntologos, pero nunca lo había oido en una discusión "adulta" en matemáticas (disculpa mi ignorancia); es más común que la gente (en general) entienda $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ como una función definida en todo el conjunto de números reales... por ejemplo, no te vas a encontrar, en libros decentes de matemáticas, una expresión como $\sqrt{\cdot}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$.

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Bueno, Enrique.

Debí expresarme mejor cuando te respondí que "yo no digo que las funciones sean iguales...", pues ambos estamos de acuerdo en que un nombre es para una sola función: 'g' es una sola, en regla de correspondencia y dominio. No hay transigencia en ello, ni incurrí en ese esa ligereza..

Lo que quiero decir es esto —espero dejarme entender—:

"g∘g∘⋯∘g = idℝ"  {'n' composiciones} implicaría, componiendo 1 vez más, que
"g∘[g∘g∘⋯∘g]" = g {'n+1' composiciones}, propiamente una periodicidad.

Sin embargo la condición del problema no es tan estricta..por ello, en el título puse "periodicidad" (en comillas), puesto que no se exige condiciones para la función toda, sino específicamente para su regla de correspondencia.

Dado que solo se pide que: g[g[g[g[g[.....g[g[x]]....]]]]] = x, no se requiere que ran (g) = dom (g); tan solo se necesita que:

∅ ≠  [ran (g) ∩ dom(g)] = dom (g∘g) ⊆ ℝ
∅ ≠  [ran (g∘g) ∩ dom(g)] = dom (g∘g∘g) ⊆ ℝ
∅ ≠  [ran (g∘g∘g) ∩ dom(g)] = dom (g∘g∘g∘g) ⊆ ℝ
................................................................................. hasta llegar a la 'n'–sima:
∅ ≠  [ran (g∘g∘g∘⋯g) ∩ dom(g)] = dom (g∘g∘g∘⋯g∘g) ⊆ ℝ.
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** Un ejemplo:

g: [-1; 1> ⊆ ℝ → ℝ /  g(x) = (x+1)/(x-1)

que cumple la condición del problema para n=1: g[g(x)] = x

Tal cual se ha mostrado, usando la notación sugerida, dom (g) = [-1; 1>; de allí, se deduce rápidamente que ran (g) = <–∞; 0]. Luego, puedes verificar que "g∘g" solo tiene dominio [-1; 0], etc.

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Supongamos que $g^{i}$ es la función que se obtiene al componer $g$ consigo misma $i$ veces; sean $A_i$ el dominio de $g^{i}$ y $B_i\subseteq A_{i+1}$ el rango de $g^{i}$. Definimos $B=\bigcap_{i\in n+1}B_i$, entonces $g^{n};B\to B$ es una permutación en $S_{B}$. El análisis es el mismo para el caso en que $B=\mathbb{R}$.
${\bf Nota}:$ el ; en la definición de $g^n$ indica una restricción de la función $g^{n}:A_n\to B_n$ ya que la sucesión $A_0,\dots,A_n$ es decreciente.

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Gracias por las precisiones, Enrique; continuaré en una respuesta, dado que aún no llego a mostrar bien algunos caracteres; en los "comentarios" no me permiten imágenes.