Supongamos que $B=\bigcap_n U_n$ donde cada $U_n$ es un abierto de $X$. Claramente tenemos que $B=\bigcap_n B_n$ donde $B_n = \bigcap_{k=1}^n U_k$. Como $X$ es normal, para cada $n \in \mathbb{N}$ existe $f_n:X \longrightarrow [0,1]$ tal que $f_n |_B = 0$ and $f_n |_{X-B_n} = 1$.
Definamos $f:X \longrightarrow [0,1]$ como $f(x)= \sum _n 2^{-n} f_n$. Es facil ver que esta nueva función esta bien definida y $B \subset f^{-1} (0)$. Para terminar, si $x \not\in B$ entonces $x \in X-B_n$ para algún natural $n$ por lo que $f(x) > 0$. Por lo tanto $B=f^{-1} (0)$.