Cero-conjuntos en espacios normales

Question

Un subconjunto $B$ en un espacio topológico $X$ se llama {\bf cero-conjunto} si existe una función continua $f:X\to[0,1]$ tal que $B=\overset{\leftarrow}{f}[0]$, donde $\overset{\leftarrow}{f}$ indica la imagen inversa bajo $f$.

Si $X$ es un espacio normal y $B$ es un cerrado que es un $G_{\delta}$-conjunto, muestre que $B$ es un cero-conjunto.

Answer 1

Supongamos que $B=\bigcap_n U_n$ donde cada $U_n$ es un abierto de $X$. Claramente tenemos que $B=\bigcap_n B_n$ donde $B_n = \bigcap_{k=1}^n U_k$. Como $X$ es normal, para cada $n \in \mathbb{N}$ existe $f_n:X \longrightarrow [0,1]$ tal que $f_n |_B = 0$ and $f_n |_{X-B_n} = 1$.

Definamos $f:X \longrightarrow [0,1]$ como $f(x)= \sum _n 2^{-n} f_n$. Es facil ver que esta nueva función esta bien definida y $B \subset f^{-1} (0)$. Para terminar, si $x \not\in B$ entonces $x \in X-B_n$ para algún natural $n$ por lo que $f(x) > 0$. Por lo tanto $B=f^{-1} (0)$.

Comments

supongo que donde pones "Claramente tenemos que $B=\bigcap_{n}U_n$" debería de se $B=\bigcap_nB_n$. También un pequeño detalle: ¿A qué se debe la continuidad de $f$?

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Olvide pensar en ese detalle por la costumbre de usarlo libremente. Supongo que con topología general debería salir de manera facil. Lo primero que se me ocurre es que la serie $\sum 2^{-n}f_n$ es absolutamente convergente por lo que converge en $C_b(X)$.

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de hecho, es elemental. La sucesión es uniformemente convergente

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En el fondo es el mismo argumento. Que la sucesion de sumas parciales es uniformemente convergente es equivalente a que la serie converge absolutamente (considerando la norma del supremo).