Halla la inversa de la matriz dada.

Question

Encuentra la inversa de la siguiente matriz compleja:

Comments

¿Cuál es la idea de hacer una pregunta como esta? Hay calculadoras que tienen teclas para esto, no veo porqué molestar humanos con estas cuentas. Le vería sentido a esta pregunta si la hiciera alguien pidiendo ayuda para entender como se calcula la inversa o qué significa, pero la orden directa "Encuentra la inversa ...", no me suena a que esté pidiendo ayuda, suena más bien como planteando un reto.

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Omar, creo que esta pregunta, al ser planteada en "básica" está dirigida a aquellos usuarios en niveles como de medio-superior... entiendo tu punto de vista, pero no me incomoda que alguien haga preguntas como esta (accesible para el público en general). Saludos _\m/

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Ouch, ahora esta pregunta tiene -2 votos a favor. Yo no voté en contra, aunque podría pensarse eso por mi comentario arriba.

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No hay problema, Omar. Entiendo que son otros quienes votan en contra..cada quién es libre. Ya vendrán los votos positivos!

Claro que no es mi tarea, je..de hecho, no estoy pidiendo ayuda, yo conozco de los temas. Aprovecho este comentario, para responder a la inquietud que parecen tener algunos otros más, al respecto:

Puesto que se invita a participar en diversos niveles (así lo entendí), la ilustración de ejercicios como estos son, principalmente, de utilidad para estudiantes de menor nivel que la mayoría, que se estuvieran agregando al grupo, quizá docentes de bachillerato/ciencias básicas universitarias que, de seguro saben de los temas, pero están siempre practicando (esto último es más parecido a mi caso, aunque yo también investigo).

Por supuesto que, en ocasiones diversas, los métodos que algunos pueden aportar me enriquecen a mí también, pues pueden ser mejores o más elegantes de los que yo bien sé [en general, siempre he resuelto una situación, antes de publicarla..salvo rara excepción].

Las calculadoras hacen cuentas, sí: pero si no se tiene la práctica del proceso manual: ¿cómo podrían mejorarse los métodos?¿quién crearía las "novedades" de procedimiento?.en general, son los matemáticos quienes observan y formalizan las "propiedades" de funciones, resoluciones, etc.., no son solo "calculistas" quienes participan. {Ejemplo: método "Montante" para inversa de matriz/resolución de sistemas lineales.}

Entiendo que los matemáticos van mucho más allá del simple cálculo, por supuesto; espero que aquí nadie se "ofenda"..si alguno busca situaciones más complejas o interesantes, pues que las ubique en las respectivas categorías [que para ello fueron creadas estas, ¿verdad?].

Simplemente que, quien encuentre adecuado para sí un ejercicio, y/o quiera resolverlo, pues adelante! (¿Le daría a alguno una especie de "vergüenza" resolver y publicar su hallazgo para una sencilla ecuación, etc.?: pues que se la deje a otro a quien sí le guste la idea.)

Amigos: Cuando pida su ayuda con alguna publicación mía, lo dejaré claro en el título, enunciado, etc...aunque dudo que lo haga, preferiría contar con el apoyo de quienes no se extrañen (escandalicen, algunos) con cuestiones de "poca monta" para su sapiencia, jeje.

¡Saludos! Continuamos en la brega. :)

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Me parece que sería más enriquecedor preguntar por los distintos métodos que hay para invertir una matriz de tres por tres y dar luego tres ejemplos bonitos y no triviales por método para ilustrar las desventajas y ventajas de cada método.

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Saludos, Ferran. Sí, estamos de acuerdo!

Bueno, sería interesante ilustrar con una pregunta más general, es verdad..le propongo que lo formule Ud., para enriquecimiento comunitario. Por mi parte, aún mostraría algunas propuestas similares de cálculo con matrices, pero en la zona de "Retos" (quizá convenga mover allí la presente, también).

Answer 1

Bueno yo hice lo siguiente...

 

$\begin{pmatrix}{2i}&{0}&{1}&{|}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{|}&{0}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{0}&{|}&{0}&{0}&{1}\end{pmatrix}$

 

Conmute las filas 1 y 3 quedando lo siguiente...

 

$\begin{pmatrix}{1}&{0}&{0}&{|}&{0}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0}&{|}&{0}&{1}&{0}\\{2i}&{0}&{1}&{|}&{1}&{0}&{0}\end{pmatrix}$

 

Multiplique la fila 1 por $-2i$ y lo sume a la fila 3, quedando lo siguiente...

 

$\begin{pmatrix}{1}&{0}&{0}&{|}&{0}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0}&{|}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{|}&{1}&{0}&{-2i}\end{pmatrix}$

 

y tenemos que la matriz del lado derecho es nuestra matriz $A^{-1}$

Comments

¡Muy bien, Mary! Estas "transformaciones lineales" llevan a una rápida resolución (es más notorio en un caso como el presente).

Respuesta correcta.

Answer 2

la inversa de la matriz A es 

$$

A^{-1} = \left(

\begin{array}{ccc}

0 & 0 & 1\\

0 & 1 & 0\\
1 & 0 & -2i

\end{array}

\right)

$$

 

 

Comments

Es esta la respuesta de Mary:

$$A^{-1} = \left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & -2i\end{array}\right)$$

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...y es correcta!

Coméntenos, por favor, como llegó a su resultado, Mary, para ilustración del grupo, especialmente de quienes recién revisan estos temas. Gracias!

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La situación ilustra lo que decía antes:  sería más enriquecedor preguntar por los distintos métodos que hay para invertir una matriz de tres por tres y dar luego tres ejemplos bonitos y no triviales por método para ilustrar las desventajas y ventajas de cada método.

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Bueno yo hice lo siguiente...

$\begin{pmatrix}{2i}&{0}&{1}&{|}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{|}&{0}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{0}&{|}&{0}&{0}&{1}\end{pmatrix}$
Conmute las filas 1 y 3 quedando lo siguiente...
$\begin{pmatrix}{1}&{0}&{0}&{|}&{0}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0}&{|}&{0}&{1}&{0}\\{2i}&{0}&{1}&{|}&{1}&{0}&{0}\end{pmatrix}$
Multiplique la fila 1 por $-2i$ y lo sume a la fila 3, quedando lo siguiente...
$\begin{pmatrix}{1}&{0}&{0}&{|}&{0}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0}&{|}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{|}&{1}&{0}&{-2i}\end{pmatrix}$
y tenemos que la matriz del lado derecho es nuestra matriz $A^{-1}$

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¡Gracias, Mary! Son solo 2 pasos, pero muy efectivos.

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Ferran: Le respondí en un comentario a la pregunta inicial; lo veo más adecuado que comentar aquí. Gracias.

Answer 3

La matriz  $\begin{pmatrix}{0}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{0}\end{pmatrix}$ es una matriz de permutación (invertible) así que su inversa es su traspuesta (ella misma) y tenemos:

$$ \begin{pmatrix}{0}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{0}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{0}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{0}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix} $$ ahora multiplicamos por las siguientes matrices transvección:

(1) $\begin{pmatrix}{1}&{0}&{2i}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{0}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{0}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{0}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{0}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}&{0}&{-2i}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix}$ $=$

 

$\begin{pmatrix}{1}&{0}&{2i}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}{1}&{0}&{-2i}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix}$ 

$=$ $\begin{pmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix}$

 

Multiplicación izquierda por la matriz trasnvección $E_{13}(2i)$ tiene el efecto de agregar "2i" veces el renglón 3 al renglón 1 (resp. derecha sería columnas) y La inversa de una matriz trasnvección $E_{ij}(t)$ es $E_{ij}(-t)$ con $i\neq{j}$. 

Por tanto simplificando (1) tenemos que:

$$ \begin{pmatrix}{2i}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{0}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{0}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{-2i}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix}$$

Luego es invertible.

 

 

Esta si es una resolución a cañonasos, ya que luego se puede ver (sin necesidad de calculadora) tu matriz que propones quien es la inversa.

Comments

[Interpretamos que cuando indica: «(resp. derecha sería columnas)», se refiere al "efecto de agregar (–2i) veces la columna 1 a la columna 3", como ocurre.]

¡Muy buen artificio, Iziro! Es pertinente su idea, dado que la matriz inicial es muy 'similar' a una de permutación: así, las matrices–transvección usadas son muy apropiadas.

En buena cuenta, sirve de "justificación" para el uso de las conocidas propiedades de "transfromaciones lineales", o sea, de combinaciones lineales entre los valores de filas/columnas.

Respuesta correcta, claro!