¿Cuántos y cómo se ubican en la elipse los cuadriláteros inscritos de área máxima?

Question

Gracias, Omar: muy buena solución.

Ahora, pregunto: ¿Cuántos cuadriláteros inscritos son aquellos de área máxima? ¿Qué posición(es) tiene(n) respecto de la elipse?

Answer 1

Antes hubo otra pregunta, acerca de cual es la máxima área de un cuadrilátero inscrito en una elipse (http://www.elirracional.org/index.php/290/maxima-area-de-un-cuadrilatero-inscrito-en-una-elipse). Respondí que la elipse es la imágen de un círculo bajo una transformación afín y que los cuadriláteros de área máxima inscritos en la elipse son las imágenes de los cuadrados inscritos en el círculo (bajo esa misma transformación).

Esto ya nos dice cuantos y cómo son los cuadriláteros de área máxima, pero es posible ser "más explícitos". Hay tantos como cuadrados inscritos al círculo de radio $a$, o sea, cada punto de la elipse está en un único cuadrilátero de área máxima. Para describir su forma, solo debemos describir los cuadrados inscritos al círculo de radio $a$ en una forma que solo use conceptos que son preservados por las transformaciones afines. (Los cuadrados no son enviados en cuadrados bajo transformaciones afínes: ni el concepto de perpendicular, ni el concepto de longitudes iguales son preservados). Pero es posible describir los cuadrados inscritos así: dado un punto $P$ sobre el círculo, el cuadrado inscrito $PQRS$ que tiene a $P$ como vértice cumple que las tangentes al círculo en $P$ y en $R$, y también la diagonal $QS$ son todas paralelas, además, $QS$ pasa por el centro del círculo. Como las transformaciones afines preservan paralelismo, tangencia y el centro de las elipses, obtenemos esta descripción:

Dado un punto $P$ sobre la elipse, podemos construir el cuadrilátero de área máxima que lo tiene como vértice así: trazamos la tangente a la elipse que pasa por $P$, construímos una paralela a dicha tangente que pasa por el centro de la elipse y llamamos $Q$ y $S$ a sus puntos de intersección con la elipse. Finalmente tomamos $R$ como el otro punto de la elipse donde la tangente es paralela a $QS$, es decir, es el punto $R$ "diametralmente opuesto a $P$" (o sea, el punto tal que $PR$ pasa por el centro de la elipse). El cuadrilátero $PQRS$ es el deseado.

Comments

¡Excelente análisis, Omar! Ciertamente que mis métodos fueron otros, así que volveré a revisar su aporte; aunque está interesante su adecuado uso de las transformaciones "elipse → cuadrado". Gracias por darse el tiempo.

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Desde luego hay otras formas de hacer esto, pero me gusta usar propiedades de las transformaciones porque permiten (1) reducir el problema al caso en el que la elipse es un círculo donde el problema es bien conocido, (2) deducir la descripción de los cuadriláteros para una elipse arbitraria sin hacer cuentas. Probablemente cualquier otro método involucra hacer algunos cálculos.

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Ciertamente, Omar. Solo restaría una 3ra pregunta: ¿Qué "forma geométrica específica" tienen los cuadriláteros de área máxima?

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No entiendo lo de "forma geométrica específica". Ya contesté que son paralelogramos $PQRS$ inscritos en la elipse, y que cumplen que la diagonal $RS$ pasa por el centro de la elipse y es paralela a las tangente a la elipse en $P$ y en $S$. (Desde luego, lo análogo para la diagonal $RS$ también se cumple) Esto permite, dado un punto $P$ sobre le elipse construir el cuadrilátero inscrito máximo  $PQRS$ que tiene a $P$ como vértice. ¿Qúe información adicional se puede pedir?

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Bueno, Omar, me disculpo si fuera el caso.

Ocurre que, solo en su respuesta a la pregunta relacionada (la primigenia), indicó de modo preciso la forma: "todos son paralelogramos"; si bien esa es una deducción rápida —más aun, usando las transformaciones, que, como bien indicó, conservan el paralelismo—, no recordaba su mención explícita a tal característica, pues en la respuesta a la presente pregunta lo que decía era que "son las imágenes de los cuadrados inscritos en el círculo (bajo esa misma transformación)"; y, de lo que después describió como procedimiento a seguir, se entendía que los cuadriláteros son trapecios, en todo caso..—aun cuando concluir el paralelismo de los "otros" 2 lados no era difícil.

Aclarado, entonces, que Ud. sí lo había explicitado.

Eso sí: lo único que acotar, es que luego de proceder como sugiere: "trazamos la tangente a la elipse que pasa por P, construímos una paralela a dicha tangente que pasa por el centro de la elipse...", puede verificarse (operando algebraicamente, por ejemplo) que la condición de paralelogramo es precisa; esto es, que no se observa condiciones adicionales: no son cuadriláteros "equiláteros" (rombos), ni tampoco "equiángulos" (rectángulos).

**Mencioné esto último, pues pudo haberse tenido una situación más "particular", aunque no fue el caso.**

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Ensayamos un resumen de respuestas, según lo hallado por Omar Antolín:
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¿Cuántos cuadriláteros inscritos son aquellos de área máxima? Infinitos.

¿Qué posición(es) tiene(n) respecto de la elipse? Son paralelogramos simétricos respecto del centro de la elipse: ambos pares de vértices opuestos, lo son "diametralmente", también.

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Ah, OK, ya entendí a que se refería lo de la "forma especifica". Nótese que (suponiendo que la elipse no es un círculo) exactamente uno de estos cuadriláteros de área máxima sí es un rectángulo: el (único) que tiene los lados paralelos a los ejes de la elipse. También, exactamente uno de ellos es un rombo: el que tiene sus vértices en los extremos de los semiejes de la elipse. Los demás, es cierto, son paralelogramos que no son rectángulos ni rombos.

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El resumen de Michel Anthony omite algo importante: no cualquier paralelogramo tal que ambos pares de vértices opuestos son "diametralmente" opuestos es uno de área máxima. Como ya se dijo, cada punto $P$ de la elipse es vértice de un único cuadrilátero de área máxima: éste cumple que la diagonal $QS$ es paralela a la tangente en $P$. (Creo que estas diagonales $PR$ y $QS$ son lo que los libros viejos llaman "diámetros conjugados" de la elipse.)

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En realidad, Omar, no mencioné lo último, puesto que no estoy dando un "modo general de construcción de los cuadriláteros de área máxima" [que Ud. hizo generosamente bien en su procedimiento, todos lo pueden leer]: solo los estoy describiendo tal cual se observan [no es un "resumen exacto de sus conclusiones", todas muy válidas; solo de las respuestas concretas —que se desprenden de allí— a las preguntas de mi publicación].

Nuevamente, Omar, muchas gracias por sus aportes y su participación, siempre muy valiosos!