Círculos de curvatura en elipse, tangentes entre sí.

Question

En 2 de los vértices de cierta elipse "$\varepsilon$", se trazan las respectivas circunferencias osculatrices, resultando tangentes. ¿Cuál es la $\textbf{excentricidad}$ de "$\varepsilon$"?

Answer 1

Podemos tomar la elipse con centro en el origen y eje focal sobre el eje \(x\). Una ecuación vectorial para esta elipse es  \(\mathbf{r}(t)=a\cos t \mathbf{i} + b\sin t \mathbf{j}\), los vértices corresponden a \(t=0\) y \(t=\pi\) la curvatura \(\kappa\) en estos puntos es  \(\kappa = \frac{a}{b^2}\) (omito el cálculo) así que el radio de las circunferencias osculatrices es \(R=\frac{1}{\kappa}=\frac{b^2}{a}\). El diámetro de estas circunferencias queda sobre el eje mayor de la elipse, y si son tangentes entonces se tiene \(2R=a\), por simetría, de donde \(b^2=\frac{1}{2}a^2\),

\( \mathbf{excentricidad}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\frac{\sqrt{\frac{1}{2}a^2}}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}} \)

Comments

{ Saludos, Ángel Mario. Coméntenos, si fuera tan amable, ¿cómo llega a dicho resultado (con el que estamos de acuerdo)? }

Gracias por editar, explicando su respuesta.

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Hola. No hallé una manera más elegante de obtener la curvatura, hice la cuenta y al sustituir \(t=0\) pueden realizarse algunas simplificaciones.