Parábola tangente a circunferencia con igual curvatura en el punto de tangencia

Question

En el plano ℝ², una parábola es tangente a una circunferencia (cuyo radio mide 'r'), de modo que el eje (rayo) focal de aquella, pasa por el centro de esta.

¿Cuál debe ser el valor del parámetro de la parábola, para que la 'curvatura' en el punto de tangencia sea igual en ambas curvas? En dicho caso, ¿qué posición relativa adoptan [exteriores, parcialmente interiores, etc.]?

Comments

¿A qué te refieres con "parámetro" de la parábola? ¿Te refieres a la distancia del foco al vértice? Tampoco entiendo lo de las posiciones relativas.

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Sí, Enrique: El $\textbf{parámetro}$ de la parábola es ese.

Sobre la posición relativa, se pide describirla: puede que las curvas sean secantes en otro(s) punto(s), o que sean totalmente exteriores, ...

Answer 1

Voy a hacer las siguientes suposiciones. La parábola tiene ecuación $4py=x^2$, donde $p$ es la distancia del foco al vértice de la parábola. El vértice de esta parábola es el origen y supondré que la circunferencia de radio $r$ es tangénte a la parábola en el origen.

Ahora, una parametrización de la parábola es $x(t)=(t,\tfrac{1}{4p}t^2)$. La fórmula de Newton para la curvatura de una curva parametrizada en el plano es $$\kappa(t)=\frac{\left<x^{\prime\prime}(t),Jx^{\prime}(t)\right>}{\|x^{\prime}(t)\|^3},$$ donde $J=\left[\begin{smallmatrix}0&-1\\1&\phantom{-}0\end{smallmatrix}\right]$. Si calculamos la curvatura de la parábola parametrizada $x(t)$ en $t=0$ obtenemos $\tfrac{1}{2p}$ mientras que la curvatura de una circunferencia de radio $r$ es $\tfrac{1}{r}$. Así, vemos que $p=\tfrac{1}{2}r$.

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Ya viendo tu comentario.

Como $r=2p$, entonces la parábola debe tocar en otros dos puntos.

Comments

Vas muy bien, Enrique. Es correcto tu hallazgo del valor de $\textbf{p}$.

Ahora, ¿por qué "la parábola debe tocar en otros dos puntos"?