Supongamos que la parábola tiene vértice en el origen y una ecuación paramétrica para ella es \(\mathbf{r}_1(t)=\langle\frac{t^2}{4p},t\rangle\), la ecuación para la directriz es \(\mathbf{r}_2(t)=\langle-p,t\rangle\). En cada punto la magnitud del vector curvatura para la parábola se obtiene como sigue
\(\mathbf{r}_1'(t)=\langle\frac{t}{2p},1\rangle\)
El vector tangente unitario a la parábola viene dado por
\(\mathbf{T}(t)=\frac{2p}{\sqrt{t^2+4p^2}}\langle\frac{t}{2p},1 \rangle \Rightarrow \mathbf{T}'(t)=\frac{2p}{\left(t^2+4p^2\right)^{3/2}}\langle 2p, -t \rangle\)
Enseguida
\(\kappa = \frac{\left\|\mathbf{T}'(t)\right\|}{\left\|\mathbf{r}'(t)\right\|}=\frac{\frac{2p}{t^2+4p^2}}{\frac{\sqrt{t^2+4p^2}}{2p}}=\frac{4p^2}{\left(t^2+4p^2\right)^{3/2}}\)
donde \(\kappa\) es la magnitud de la curvatura de la parábola, el vector normal unitario para la parábola también puede encontrarse de la misma forma
\(\mathbf{N}(t)=\frac{2p}{\sqrt{t^2+4p^2}}\langle 1,-\frac{t}{2p}\rangle\)
Si \(R\) es el radio de \(\mathbf{C}\), entonces una función vectorial que lo describe es
\(\mathbf{r}_3(u)=R\langle \cos u, \sin u \rangle+ \mathbf{r}_1(t)+R\mathbf{N}(t)\).
Tomaremos, por conveniencia, como parámetro \(u\) el ángulo que forma el radio de \(\mathbf{C}\) con el eje \(x\) positivo.
Siendo los vectores curvatura de \(\mathbf{C}\) y \(\mathbf{P}\) de igual magnitud se sigue que \(R=\frac{1}{\kappa}\):
\(R=\frac{1}{\kappa}=\frac{\left(t^2+4p^2\right)^{3/2}}{4p^2}\)
Para que \(\mathbf{C}\) sea tangente a la directriz de \(\mathbf{P}\) es preciso que la primer componente de \(\mathbf{r}_3(u)\) sea \(-p\), nótese que el punto de tangencia debe ser el que corresponde a \(\mathbf{r}_3(\pi)\). De donde \(\frac{3t^2+8p^2}{4p}-\frac{\left(t^2+4p^2\right)^{3/2}}{4p^2}=-p\).
Al resolver esta ecuación para \(t\) se obtiene \(t^2=5p^2\), de donde \(R=\frac{\left(5p^2+4p^2\right)^{3/2}}{4p^2}=\frac{27}{4}p\)
