Circunferencia doblemente tangente a elipse (torito sencillo).

Question

Una circunferencia de radio 'R' es tangente en 2 puntos a una elipse. Las curvas delimitan 3 regiones de idéntica medida de área. Halla los valores de los parámetros de la elipse, así como su excentricidad.

Answer 1

¡Hola! Para tener una elipse tangente a una circunferencia en 2 puntos, tenemos 2 opciones.

Si a es el semieje mayor de la elipse y b es el semieje menor, los casos son: a=R ó b=R. En ambos csos, los centros de la elipse y la cirncunferencia serán el mismo punto.

Si a=R, la elipse queda dentro de la región delimitada por la circunferencia, por lo que el área dentro de la elipse debe ser una tercera parte del área dentro de la circunferencia. Usando las fórmulas de área dentro de circunferencia y elipse, obtenemos que R=3b.

Si b=R, la circunferencia queda dentro de la región delimitada por la elipse y el área dentro de la elipse será tres veces el área dentro de la circunferencia. Obtenemos que a=3R.

En ambos casos, la excentricidad es raíz de 8/9.

Comments

Bien, Jorge. Entonces, tenemos:

*1er caso: $ a= R, \: b= \frac{R}{3}, \: e = \frac{2}{3}\sqrt{2}.  $
*2do caso: $ a= 3R, \: b= R, \: e = \frac{2}{3}\sqrt{2} $.

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Claro! Errores a la hora de escribirlo (y experienca nula en LaTeX jaja) para la siguiente seré más cuidadoso.

Answer 2

El radio del círculo es el semi-eje menor $b$. Como su área $\pi b^2$ es la tercera parte del área de la elipse $\pi ab$, tenemos que $a=3b$. También tenemos $c = \sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{8}b$, y entonces la excentricidad es

$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{8}}{3}.$$

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Aplicando la transformación lineal que contrae a un tercio la coordenada en la dirección del eje mayor, la elipse se convierte en círculo de radio $b$ y el círculo se convierte en elipse inscrita con semi-ejes $b$ y $b/3$. Este es el caso que no describí antes, pero evidentemente la excentricidad es también $\sqrt{8}/3$.

Comments

$ De \: acuerdo, \: Rodrigo. \\ \\
Entonces,\: tenemos \: que: a= 3R, \: b= R, \: e = \frac{2}{3}\sqrt{2}. $

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Aunque faltaría considerar el caso en que la circunferencia es exterior (de hecho, circunscrita) a la elipse.