Las transformaciones afines (las de la forma $(x,y) \mapsto (ax+by+h, cx+dy+k)$) conservan razones entre áreas (ésa multiplica todas las áreas por $ad-bc$), y una elipse de semiejes $a$ y $b$ se puede transformar en un círculo de radio $a$ estirando distancias por un factor de $a/b$ en la dirección del semieje que mide $b$. En el círculo es conocido que el área máxima de un cuadrilátero inscrito es la del cuadrado, que tiene área $2a^2$. Por lo tanto, en la elipse el área máxima es $2a^2/(a/b)=2ab$. Los cuadriláteros que dan ese máximo son la imagen inversa de cuadrados inscritos en el círculo de radio $a$ bajo la transformación descrita. Todos son paralelogramos, al ser imágenes de un paralelogramo bajo una transformación afín.
Esto ya nos dice cuantos y cómo son los cuadriláteros de área máxima, pero es posible ser "más explícitos". Hay tantos como cuadrados inscritos al círculo de radio $a$, o sea, cada punto de la elipse está en un único cuadrilátero de área máxima. Para describir su forma, solo debemos describir los cuadrados inscritos al círculo de radio $a$ en una forma que solo use conceptos que son preservados por las transformaciones afines. (Los cuadrados no son enviados en cuadrados bajo transformaciones afínes: ni el concepto de perpendicular, ni el concepto de longitudes iguales son preservados). Pero es posible describir los cuadrados inscritos así: dado un punto $P$ sobre el círculo, el cuadrado inscrito $PQRS$ que tiene a $P$ como vértice cumple que las tangentes al círculo en $P$ y en $R$, y también la diagonal $QS$ son todas paralelas, además, $QS$ pasa por el centro del círculo. Como las transformaciones afines preservan paralelismo, tangencia y el centro de las elipses, obtenemos esta descripción:
Dado un punto $P$ sobre la elipse, podemos construir el cuadrilátero de área máxima que lo tiene como vértice así: trazamos la tangente a la elipse que pasa por $P$, construímos una paralela a dicha tangente que pasa por el centro de la elipse y llamamos $Q$ y $S$ a sus puntos de intersección con la elipse. Finalmente tomamos $R$ como el otro punto de la elipse donde la tangente es paralela a $QS$, es decir, es el punto $R$ "diametralmente opuesto a $P$" (o sea, el punto tal que $PR$ pasa por el centro de la elipse). El cuadrilátero $PQRS$ es el deseado.
